Quod Erat Demonstrandum

2015/09/13

一式過

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:19 下午
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比如要寫出以下數列的通項

-1,1,-1,1,\dots

應該不難得出

(-1)^n

吧。(這樣假設上述數列的變化模式不變,一直都是「負 1 正 1」咁去。)

但還有沒有其他可能?

有的,比如

\cos(180^on)

對於有「周期」變化的數列,例如

1,2,3,1,2,3,\dots

T_n = \left \{ \begin{array}{ll} 1 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n = 1,4,7,\dots\\2 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n=2,5,8,\dots \\3 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n = 3,6,9,\dots \end{array}\right.

之前都談過:

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/05/01/boring-talik-about-general-term/

其表達式可以是

T_n=\frac{1}{3}((1+2\cos(120^o(n-1)))+2(1+2\cos(120^o(n+1)))+3(1+2\cos(120^on)))

化簡得

T_n=2+\frac{2}{3}(\cos 120^o(n-1)+2\cos120^o(n+1)+3\cos120^on) for n=1,2,3,\dots

現在試玩另一些函數的表達式。

考慮

f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = rational\\0 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = irrational\end{array}\right.

如何用一條式表達 f(x) 呢?(修過實分折 (real analysis) 的學生應不會陌生,不過是 f(x)=\chi_{\mathbb{Q}}(x) 而已。)

早前在教員室書櫃閒時閱讀到英國數學家哈代(Godfrey Harold Hardy)著的中學數學參考書:a course of pure mathematics,那是 1952 年的第 10 版(第 1 版是 1908 年的),見下:

在 P.169 的 Q.24 是類似問題,見

類似習題,我在中學時,於一本非常喜愛的微積分習作 Graded Exercises In Calculus for H.K. A-Level Examination (作者:C.S. Man) 上做過,及後在教純數時,在極限那課和學生談過。

首先是 signum function:

sgn(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x > 0\\0 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = 0\\-1 \hspace{8 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x < 0\end{array}\right.

原來可以用一條式

sgn(x)=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2}{\pi}\tan^{-1}(nx)

表達。

為何?用窮舉法,分別考慮

x > 0
x = 0
x < 0

三個情況。並且要知

\displaystyle \lim_{y\rightarrow +\infty}\tan^{-1}y=\frac{\pi}{2}\displaystyle \lim_{y\rightarrow -\infty}\tan^{-1}y=-\frac{\pi}{2}

便可。

現在考慮

sgn(\sin^2(m!\pi x))

x 是有理數,設 x=\frac{p}{q},只要有足夠大的 m,比如 m > q,那麼 \sin^2(m!\pi x)=0,即

y=\displaystyle \lim_{m\rightarrow +\infty}sgn(\sin^2(m!\pi x))=0

x 是無理數,\sin^2(m!\pi x) > 0,那麼 sgn(\sin^2(m!\pi x))=1,即

y=\displaystyle \lim_{m\rightarrow +\infty}sgn(\sin^2(m!\pi x))=1

即完成 Q.24 的上半部份。

那麼,要表達

f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = rational\\0 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = irrational\end{array}\right.

只要寫

f(x)=1-\displaystyle \lim_{m\rightarrow +\infty}sgn(\sin^2(m!\pi x))

便可。

更一般地,若

g(x) = \left \{ \begin{array}{ll} a \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = rational\\b \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = irrational\end{array}\right.

只要寫

g(x)=a+(b-a)\displaystyle \lim_{m\rightarrow +\infty}sgn(\sin^2(m!\pi x))

就是了。

好了,Q.24 的下半部份,考慮

\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(\cos(m!\pi x))^{2n})

和剛才一樣,

x 是有理數,設 x=\frac{p}{q},只要有足夠大的 m,比如 m > q,那麼

(\cos(m!\pi x))^2=1\Rightarrow (\cos(m!\pi x))^{2n}=1

\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(\cos(m!\pi x))^{2n})=1

x 是無理數,m!x 也必是無理數,故 \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(\cos(m!\pi x))^{2n}=0

\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(\cos(m!\pi x))^{2n})=0

故完成了 Q.24 的下半部。

其實把表達式寫成一條過的式子真的重要嗎?因題而異,「一式過」的好處起碼是「不用分 cases」吧。

比如當年做到我想喊的一道題:

(a) Show that if k\le x < k+1,(k=0,1,2,\dots),\int [x]|\sin \pi x|dx=(-1)^{[x]+1}\frac{[x]}{\pi}\cos \pi x+C_k

(b) Let F(x)=(-1)^{[x]+1}\frac{[x]}{\pi}\cos \pi x+C_k, k \le x < k+1k=0,1,2,\dots )be a continuous function for all x\ge 0, show that C_k=\frac{1}{\pi}(2k-1)+C_{k-1}.

(c) If C_0=0, find \int [x]|\sin \pi x|dx (x\ge 0) (答案在這裡

當中就用了

\cos k\pi=(-1)^k

之類。

哈代的書還有幾個 appendices 是很有趣的,比如 appendix 2 就是偉大的代數基礎定理之證明,數學本科生一定不會陌生:

連 appendix 都有習題:

其實這類經典的數學書,應可在網上找到,果然尋得 1921 年第 3 版的,有興趣可下載看看:

http://www.gutenberg.org/files/38769/38769-pdf.pdf

or

https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/SFXC/38769-pdf.pdf

留意到起碼它的 appendix 部份,和第 10 版的有少許分別。

看舊書,再比較現在的教科書,感覺無言。

1 則迴響 »

  1. 以前番中學上堂講sin cos function果陣
    諗過d類似嘅野
    想用sin and limit 黎 “扮" square wave:
    f(x)= limit n->inf (sin(x))^( 1 /( 2n+1))
    當然果陣唔知可以用fourier series表達
    要set好佢take邊個root。
    同發現最後都係要定義野, 要定義n係integer先 lol

    迴響 由 Yik Fung Luk — 2015/09/13 @ 11:42 下午 | 回覆


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