Quod Erat Demonstrandum

2015/09/15

合24

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 8:54 下午

學期初,同事已病,我代課。剛開學的中二學生,玩甚麼好?不如玩小學生也懂的遠古算術遊戲:合 24。

用一堂弄幾題所謂難題,去上堂,當中包括:

{3,3,7,7}

(即把上述數字各用一次,配以四則運算,得出答案 24。)

未玩過的可以試試。

遊戲樂趣在乎玩,若把遊戲用之以研究數學,對很多人來說實屬煮鶴焚琴,但對數學人卻是很自然:

比如,把 4 個數字的運算形式窮盡,得出所有可能解,那麼每次玩合 24,一檢查便知可否。

估計晨早有人做了吧?我現只舉一種運算形式,欲窮之。

上例:{3,3,7,7} 的解是

7(3+\frac{3}{7})=24

一般地,考慮 4 個不大於 10 的正整數:{a,b,c,d},其運算形式如下:

a(b+\frac{c}{d})=24

要上式有解,起碼要 \frac{ac}{d} 是正整數。

如果,cd 整除,對於合 24 來說,情況是較易;如果 c 不被 d 整除,情況很可能較難(比如上面 {3,3,7,7} 的情況)。

於是,我先處理 a 可被 d 整除的情況。

情況 1:a=d,即要求 ab+c=24\Rightarrow ab=24-c

c=1ab=23(不能)
c=2ab=22(不能)
c=3ab=21\Rightarrow ab=3\times 7,即有

3(7+\frac{3}{3})=24
7(3+\frac{3}{7})=24

即是已出了兩題:

{3,3,3,7} (易)和
{3,3,7,7} (難)了。

繼續…

c=4ab=20\Rightarrow ab=2\times 10 or 4\times 5,即有

2(10+\frac{4}{2})=24 得 {2,2,4,10}
10(2+\frac{4}{10})=24 得 {2,4,10,10}(難)
4(5+\frac{4}{4})=24 得 {4,4,4,5}
5(4+\frac{4}{5})=24 得 {4,4,5,5}

c=5ab=19(不能)
c=6ab=18\Rightarrow ab=2\times 9 or 3\times 6,即有

2(9+\frac{6}{2})=24 得 {2,2,6,9}
9(2+\frac{6}{9})=24 得 {2,6,9,9}(難)
3(6+\frac{6}{3})=24 得 {3,3,6,6}
6(3+\frac{6}{6})=24 得 {3,6,6,6}

c=7ab=17(不能)
c=8ab=16\Rightarrow ab=2\times 8 or 4\times 4,即有

2(8+\frac{8}{2})=24 得 {2,2,8,8}
8(2+\frac{8}{8})=24 得 {2,8,8,8}
4(4+\frac{8}{4})=24 得 {4,4,4,8}

c=9ab=15\Rightarrow ab=3\times 5,即有

3(5+\frac{9}{3})=24 得 {3,3,5,9}
5(3+\frac{9}{5})=24 得 {3,5,5,9}(難)

c=10ab=14\Rightarrow ab=2\times 7,即有

2(7+\frac{10}{2})=24 得 {2,2,7,10}
7(2+\frac{10}{7})=24 得 {2,7,7,10}(難)

完了,已經出了 17 題。

但當中有些是很簡單,比如 5(4+\frac{4}{5})=24,雖然 \frac{4}{5} 不是整數,但這一點也不難,因為多數以 5\times 5-\frac{4}{4}=24 算之,所以要籂選一下才給學生玩。

情況 2:a=2d,即要求 2bd+2c=24\Rightarrow bd=12-c

c=2bd=10\Rightarrow bd=1\times 10 or 2\times 5,即有

2(10+\frac{2}{1})=24 得 {1,2,2,10}
10(2+\frac{2}{5})=24 得 {2,2,5,10}(難)
4(5+\frac{2}{2})=24 得 {2,2,4,5}

c=3bd=9\Rightarrow bd=1\times 9 or 3\times 3,即有

2(9+\frac{3}{1})=24 得 {1,2,3,9}
6(3+\frac{3}{3})=24 得 {3,3,3,6}

c=4bd=8\Rightarrow bd=1\times 8 or 2\times 4,即有

2(8+\frac{4}{1})=24 得 {1,2,4,8}
4(4+\frac{4}{2})=24 得 {2,4,4,4}
8(2+\frac{4}{4})=24 得 {2,4,4,8}

c=5bd=7\Rightarrow bd=1\times 7,即有

2(7+\frac{5}{1})=24 得 {1,2,5,7}

c=6bd=6\Rightarrow bd=1\times 6 or 2\times 3,即有

2(6+\frac{6}{1})=24 得 {1,2,6,6}
4(3+\frac{6}{2})=24 得 {2,3,4,6}
6(2+\frac{6}{3})=24 得 {2,3,6,6}

c=7bd=5\Rightarrow bd=1\times 5,即有

2(5+\frac{7}{1})=24 得 {1,2,5,7}
10(1+\frac{7}{5})=24 得 {1,5,7,10}(難)

c=8bd=4\Rightarrow bd=1\times 4 or 2\times 2,即有

2(4+\frac{8}{1})=24 得 {1,2,4,8}
8(1+\frac{8}{4})=24 得 {1,4,8,8}
4(2+\frac{8}{2})=24 得 {2,2,4,8}

c=9bd=3\Rightarrow bd=1\times 3,即有

2(3+\frac{9}{1})=24 得 {1,2,3,9}
6(1+\frac{9}{3})=24 得 {1,3,6,9}

c=10bd=2\Rightarrow bd=1\times 2,即有

2(2+\frac{10}{1})=24 得 {1,2,2,10}
4(1+\frac{10}{2})=24 得 {1,2,4,10}

完了,共出了 38 題。但當中有重覆,比如 {1,2,4,8};也有比較滿意的,例如 {1,5,7,10},可以入選。

情況 3:a=3d,即要求 3bd+3c=24\Rightarrow bd=8-c

c=1bd=7\Rightarrow bd=1\times 7,即有

3(7+\frac{1}{1})=24 得 {1,1,3,7}

c=2bd=6\Rightarrow bd=1\times 6 or 2\times 3,即有

3(6+\frac{2}{1})=24 得 {1,2,3,6}
6(3+\frac{2}{2})=24 得 {2,2,3,6}
9(2+\frac{2}{3})=24 得 {2,2,3,9}

c=3bd=5\Rightarrow bd=1\times 5,即有

3(5+\frac{3}{1})=24 得 {1,3,3,5}

c=4bd=4\Rightarrow bd=1\times 4 or 2\times 2,即有

3(4+\frac{4}{1})=24 得 {1,3,4,4}
6(2+\frac{4}{2})=24 得 {2,2,4,6}

c=5bd=3\Rightarrow bd=1\times 3,即有

3(3+\frac{5}{1})=24 得 {1,3,3,5}
9(1+\frac{5}{3})=24 得 {1,3,5,9}(難)

c=6bd=2\Rightarrow bd=1\times 2,即有

3(2+\frac{6}{1})=24 得 {1,2,3,6}
6(1+\frac{6}{2})=24 得 {1,2,6,6}

c=7bd=1\Rightarrow bd=1\times 1,即有

3(1+\frac{7}{1})=24 得 {1,1,3,7}

完了,又做多一些題,當中出現比較滿意的 {1,3,5,9}。

情況 4:a=4d,即要求 4bd+4c=24\Rightarrow bd=6-c

c=1bd=5\Rightarrow bd=1\times 5,即有

4(5+\frac{1}{1})=24 得 {1,1,4,5}

c=2bd=4\Rightarrow bd=1\times 4 or 2\times 2,即有

4(4+\frac{2}{1})=24 得 {1,2,4,4}
8(2+\frac{2}{2})=24 得 {2,2,2,8}

c=3bd=3\Rightarrow bd=1\times 3,即有

4(3+\frac{3}{1})=24 得 {1,3,3,4}

c=4bd=2\Rightarrow bd=1\times 2,即有

4(2+\frac{4}{1})=24 得 {1,2,4,4}

c=5bd=1\Rightarrow bd=1\times 1,即有

4(1+\frac{5}{1})=24 得 {1,1,4,5}

情況 5:a=6d,即要求 6bd+6c=24\Rightarrow bd=4-c

c=1bd=3\Rightarrow bd=1\times 3,即有

6(3+\frac{1}{1})=24 得 {1,1,3,6}

c=2bd=2\Rightarrow bd=1\times 2,即有

6(2+\frac{2}{1})=24 得 {1,2,2,6}

c=3bd=1\Rightarrow bd=1\times 1,即有

6(1+\frac{3}{1})=24 得 {1,1,3,6}

情況 6:a=8d,即要求 8bd+8c=24\Rightarrow bd=3-c

c=1bd=2\Rightarrow bd=1\times 2,即有

8(2+\frac{1}{1})=24 得 {1,1,2,8}

c=2bd=1\Rightarrow bd=1\times 1,即有

8(1+\frac{2}{1})=24 得 {1,1,2,8}

好了,如果 \frac{ac}{d} 是正整數,但 ac 也不能被 d 整除又如何?

比如

情形 1:\frac{2\times 2}{4},即 ab + 1=24(不能)

情形 2:\frac{3\times 3}{9},即 ab + 1=24(不能)

情形 3:\frac{3\times 6}{9},即 ab + 2=24(不能)

應該完成吧?

類似地,可以考慮以下運算形式:

a(b-\frac{c}{d})=24

甚或

a\div (b\pm \frac{c}{d})=24

之類。朋友,有冇興趣創作一些較難的合 24 題,幫我下次代課時可以和學生玩玩?當然,若懂編寫電腦程式,就不會像我徒手做數,浪費光陰。

1 則迴響 »

  1. Good for checking:
    http://gottfriedville.net/games/24/index.shtml

    迴響 由 johnmayhk — 2015/09/16 @ 12:00 下午 | 回覆


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