Quod Erat Demonstrandum

2015/09/19

7 線共點

Filed under: NSS — johnmayhk @ 10:56 下午
Tags:

隨便用 GeoGebra 弄個 movie,見:

這不過是常見問題。初中同學知:平面上三角形的中線共點(稱該點為重心或形心 centroid),那麼立體的情況如何?

如片段所見,三角錐體的 4 條中線 和 3 條 bimedians(不懂中譯如何)也共點。

為何?修 M2 同學可以利用向量證之如下:

設 A,B,C,D 的位置向量(position vectors,簡稱「位置」,下同)為 \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}

三角形 ABC 的形心,X,其位置是 \frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}),自然猜想

三角錐 ABCD 的所謂形心,G,其位置是 \frac{1}{4}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}) (即取平均也。)

這猜想正確嗎?

考慮 G’ 為其中一條中線(median)線段 DX 上的分點,當中 DG’ : G’X = r : 1。於是 G’ 的位置是

\frac{1}{1+r}(\overrightarrow{d}+r(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})/3)

如果故意命 G’=G,即

\frac{1}{1+r}(\overrightarrow{d}+r(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})/3)=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})

真可解出 r=3。

也就是說,G 在 DX 上,當中 DG : GX = 3 : 1。

(由於 \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d} 地位相同,易知 G 同樣在其餘 3 條中線上,證畢,不過都係具體寫出來,如下)

類似地,考慮

三角形 ABD 的形心,Y,其位置是 \frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})

那麼 CY 上,在 3 : 1 的位置的分點是

\frac{1}{1+3}(\overrightarrow{c}+3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})/3)=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})

也就是說,G 在 CY 上,當中 CG : GY = 3 : 1。

同理,

設三角形 ACD 的形心為 Z,G 在 BZ 上,當中 BG : GZ = 3 : 1。
設三角形 BCD 的形心為 W,G 在 AW 上,當中 AG : GW = 3 : 1。

所以,4 條中線 AW, BZ, CY, DX 共點於 G。

另外,

設 AB 和 CD 的中點分別為 U 及 V;
設 AC 和 BD 的中點分別為 S 及 T;
設 BC 和 AD 的中點分別為 Q 及 R;

M2 同學,當簡單練習試試:證明 bimedians UV, ST, QR 也交於 G。

多年前,引入了繪 3D 的軟件作教學後,這問題就好像熱起來。但證明,其實唔難。另外,可否以物理上的重心(centre of gravity)去處理?想一想。

發表迴響 »

仍無迴響。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: