Quod Erat Demonstrandum

2015/09/23

兩數相等

Filed under: Fun — johnmayhk @ 5:43 下午
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閒時證明吓 1=2 之類的東西,學生可能會醒一醒。

比如教配方法時,可以問問學生喜歡哪兩個數?例如 8 和 9,那麼我們就可以「證明」:8 等於 9,如下:

8\times 9=9\times 8

\Rightarrow 8\times (17-8)=9\times (17-9)

\Rightarrow 8\times 17-8^2=9\times 17-9^2

\Rightarrow 8^2-8\times 17=9^2-9\times 17

\Rightarrow 8^2-8\times 17+(\frac{17}{2})^2=9^2-9\times 17+(\frac{17}{2})^2

(配方法了)

\Rightarrow (8-\frac{17}{2})^2=(9-\frac{17}{2})^2

\Rightarrow 8-\frac{17}{2}=9-\frac{17}{2}

\Rightarrow 8=9

又例如教 M1, M2,講到 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 時,又可以扮哂嘢地話可以「證明」:任何兩個數都相等,見下:

隨便考慮 xy

a=x-y
b=(x+y)^2
c=4(x^2-xy+y^2)

計算

(a+\sqrt{b-c})^3

=a^3+3a^2\sqrt{b-c}+3a(b-c)+(b-c)\sqrt{b-c}

=a^3+3a(b-c)+(3a^2+b-c)\sqrt{b-c}

現在計算當中的

3a^2+b-c

=3(x-y)^2+(x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)

=3x^2-6xy+3y^2+x^2+2xy+y^2-4x^2+4xy-4y^2

=0

於是

(a+\sqrt{b-c})^3=a^3+3a(b-c) ………………. (1)

同理,考慮

(a-\sqrt{b-c})^3

=a^3-3a^2\sqrt{b-c}+3a(b-c)-(b-c)\sqrt{b-c}

=a^3+3a(b-c)-(3a^2+b-c)\sqrt{b-c}

=a^3+3a(b-c) (因 3a^2+b-c=0

(a-\sqrt{b-c})^3=a^3+3a(b-c) ………………. (2)

由 (1) 及 (2) 得

(a+\sqrt{b-c})^3=(a-\sqrt{b-c})^3

a+\sqrt{b-c}=a-\sqrt{b-c}

\Rightarrow \sqrt{b-c}=-\sqrt{b-c}

\Rightarrow 2\sqrt{b-c}=0

\Rightarrow b-c=0

\Rightarrow (x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)=0

\Rightarrow x^2+2xy+y^2-4x^2+4xy-4y^2=0

\Rightarrow -3x^2+6xy-3y^2=0

\Rightarrow -3(x^2-2xy+y^2)=0

\Rightarrow -3(x-y)^2=0

\Rightarrow x-y=0

\Rightarrow x=y

即是隨便兩個數都可以相等了。

當學生睡醒,有時間就解惑,冇時間就授業。就這樣。

Also read

https://johnmayhk.wordpress.com/2010/12/15/not-equal/

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