Quod Erat Demonstrandum

2015/10/11

正四面體,兩個夾角

Filed under: Fun — johnmayhk @ 9:10 下午
Tags: ,

1.一個玩具

早前入了些貨,其中一件:

正四面體困在籠中,

硬闖不能:

如何逃脫?其實唔難。想想:正方體的某四角相連,可生成正四面體(regular tetrahedron)見下:

點擊以下連結動動它吧:

http://tube.geogebra.org/m/1790351

可見,設正方體邊長 1 單位,正四面體的邊長就是 \sqrt{2},較正方體邊長,但只要放好位置,剛好像被一個正方體包圍般,我們便可輕易把正四面體救出來。

2.一道習題

碰巧又是教立體三角的時間,我隨便給舊題學生做:

所謂證明甲烷(Methane,化學式為 CH_4)的鍵角(bond angle)為 \cos^{-1}(-\frac{1}{3})\simeq 109.5°,見

https://en.wikipedia.org/wiki/Methane

(若有 lone pair electrons 之類,唔識計,聞說要靠電腦模擬~)

如何計出 \cos^{-1}(-\frac{1}{3})?重點是,粒炭原子在正四面體的「中心」位置:

看不清楚,又點擊以下連結動動它吧:

http://tube.geogebra.org/m/1796029

由對稱性,想像正面看正四面體任何一個三角面,炭原子都在「中心」(形心)。

現在想像圍著那正四面的正方體,由對稱性,我們看某個氫原子(即正方體的角),在某個位置可以看到,那「中心」也是正六邊形的中心,見:

那麼,炭原子必在正方體的對角線上,即「中心」是正方體對角線的交點,見:

於是,C-H 鍵也在對角線上,故鍵角就是(比方說)長方形 CDEF 的對角線夾角(鈍角),

而該長方形的長闊比是 \sqrt{2}:1,利用 cosine law,算出鍵角的大小是

\cos^{-1}\frac{2(\sqrt{3}/2)^2-\sqrt{2}^2}{2(\sqrt{3}/2)^2}=\cos^{-1}(-\frac{1}{3})

除了上法,起碼還有兩個方法得到鍵角:

1) 利用三維向量的內積,比如設氫原子分別在 (0,0,0), (1,1,0), (0,1,1) 及 (1,0,1);則炭原子在 (0.5,0.5,0.5) 之處。

2) 把正四面體,沿 C-H 切開成 4 個全等的四面體,考慮該 4 個四面積積積總和就是原來的正四面體體積之類。

3.主要問題

Core Math 立體三角會問到兩面夾角,比如:正四面體的鄰面夾角大小。

參下圖,設 K 為 DE 的中點,則正四面體的鄰面夾角是 \angle BKG

不難得出是 \angle BKG=\cos^{-1}(\frac{2(\sqrt{3}/2)-\sqrt{2}^2}{2(\sqrt{3}/2)})=\cos^{-1}(\frac{1}{3})

剛好是 \cos^{-1}(-\frac{1}{3}) 的補角(supplementary angle)。但除了具體計算,如何看出正四面體的鄰面夾角和 C-H 鍵角是互補關係?

讓我再多加一個全等的正方體在旁,見下。

因 K 是垂直正方形的中心,則 K, B 和(B 的對角)O 共線;G, K, L 也共線。故正四面體的鄰面夾角,就是長方形 GBLO 的夾角(銳角)。

好了,還記得鍵角就是(比方說)長方形 CDEF 的對角線夾角(鈍角)嗎?見下:

現在只要知:長方形 GBLO 和 CDEF 是相似的,因為它們長闊比皆是 \sqrt{2}:1。於是,長方形對角線夾的銳角和鈍角互補,就自然不過了。

又點擊以下連結動動它吧:

http://tube.geogebra.org/m/1798661

4.兩個順便

再補多句數學通識,以正方形為底的四角錐體(right pyramid with square base):

若側棱和底邊等長,則其相鄰兩面夾角又是 \cos^{-1}(-\frac{1}{3}),有何推論?諸君自擬。

順便多談一下。M2 同學知

\cos^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{1}{3}\pi

那麼

\cos^{-1}(\frac{1}{3}) 又會否等於某個有理數 \frac{p}{q} 乘以 \pi 呢?

現在證明這是不能的。

M2 同學懂得:

\cos(n+1)\theta+\cos(n-1)\theta

=(\cos n\theta\cos \theta-\sin n\theta\sin \theta)+(\cos n\theta\cos \theta+\sin n\theta\sin \theta)

=2\cos n\theta\cos \theta

\cos(n+1)\theta=2\cos n\theta\cos \theta-\cos(n-1)\theta

依次代入 n=1,2,3,4,\dots

\cos 2\theta

=2\cos \theta\cos \theta-1

=2\cos^2\theta-1

\cos 3\theta

=2\cos 2\theta\cos \theta-\cos\theta

=(2\cos 2\theta-1)\cos \theta

=(2(2\cos \theta-1)-1)\cos \theta

=2^2\cos^3\theta-3\cos \theta

\cos 4\theta

=2\cos 3\theta\cos \theta-\cos 2\theta

=2(2^2\cos^3\theta-3\cos \theta)\cos \theta-2\cos^2\theta+1

=2^3\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1

\cos 5\theta

=2\cos 4\theta\cos \theta-\cos 3\theta

=2(2^3\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1)\cos \theta-(2^2\cos^3\theta-3\cos \theta)

=2^4\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta

於是,不難看出 \cos n\theta 可以拆成以 \cos\theta 為不定元的多項式(polynomial in \cos\theta),

\cos n\theta=T_n(\cos\theta)

其中 T_n(x) 是多項式,循上例,知

T_2(x)=2x^2-1

T_3(x)=2^2x^3-3x

T_4(x)=2^3x^4-8x^2+1

T_5(x)=2^4x^5-20x^3+5x

可見 T_n(x) 的 degree 為 n,其首項係數(leading coefficient)為 2^{n-1},且所有係數皆為整數。

(注1:同學可以 M.I.,或考慮 e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta 證之。)

(注2:上面的 T_n(x),是所謂第一類切比雪夫多項式,見 https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials

好了,現在用反證,假設 \cos^{-1}\frac{1}{3}=\frac{p}{q}\pi,其中 p,q 皆為正整數。

於是 T_q(\frac{1}{3})=T_q(\cos\frac{p}{q}\pi)=\cos(q\cdot \frac{p}{q}\pi)=\pm 1

換言之,\frac{1}{3} 是多項式方程 T_q(x)\pm 1=0 的根。

T_q(x)\pm 1\equiv (3x-1)P(x),其中 P(x) 是整數係數多項式,即 T_q(x) 的首項係數是 3 的倍數。

但這是矛盾的,皆因前文推論過:T_q(x) 的首項係數是 2^{q-1}

換言之,\cos^{-1}(\frac{1}{3}) 沒可能等於有理數乘以 \pi

其實 \cos^{-1}(\frac{1}{3}) 也不是有理數,同學試找找證明。

5.兩個OT

(OT1) 偶看某 dse core math 練習書,真係夠膽死當 mc 問:

Find the angle between two adjacent lateral faces of a regular dodecahedron.

A.117°
B.118°
C.119°
D.120°

雖然把 long question 變 mc 來出題見唔少,但咁樣玩,意義在哪(比如這是沒有 detractors 的 mc)?下次玩正二十面體體積囉,咁樣樣。

(OT2) 早前同學介紹我看以下片段,當中的立體的一些夾角,似乎也有研究的樂趣:

1 則迴響 »

  1. WOW!! Interesting

    迴響 由 Cloud — 2015/10/11 @ 10:19 下午 | 回覆


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: