Quod Erat Demonstrandum

2015/10/15

二次和是和

Filed under: Fun,NSS — johnmayhk @ 5:43 下午

觀察

1^2+1^2=1+1

1.2^2+0.6^2=1.2+0.6

1.2^2+0.4^2=1.2+0.4

還有沒有其他例子,滿足以下關係?

x^2+y^2=x+y ……………… (*)

學過圓方程的同學,應該知道 (*) 正是圓方程,所以在該圓(周)上的點,皆滿足 (*)。

換言之,有無限個實數組 (a,b) 滿足 (*)

隨便代入,比方說 y=0.3,(*) 變成

x^2+0.3^2=x+0.3

\Rightarrow x^2-x-0.21=0

\Rightarrow  x=\frac{1\pm \sqrt{1.84}}{2}

所以有

(\frac{1\pm \sqrt{1.84}}{2})^2+0.3^2=\frac{1\pm \sqrt{1.84}}{2}+0.3

這似乎沒有本文最初幾個例子美觀,於是自然問:還有沒有其他有理數(a,b)

有,大家檢查一下:

(\frac{1+m}{1+m^2})^2+(\frac{m+m^2}{1+m^2})^2=(\frac{1+m}{1+m^2})+(\frac{m+m^2}{1+m^2}) ………. (#)

只要在 (#) 中隨便代入有理數 m,比如 m=3,得

(\frac{1+3}{1+9})^2+(\frac{3+9}{1+9})^2=(\frac{1+3}{1+9})+(\frac{3+9}{1+9})

0.4^2+1.2^2=0.4+1.2

如何得 (#)?容易,想一想幾何圖像便是。

圖中,圓上任何一點皆滿足 (*),考慮以直線 y=mx 交之,解交點曰

x^2+(mx)^2=x+mx

\Rightarrow x=\frac{1+m}{1+m^2} or x=0

(\frac{1+m}{1+m^2},m\frac{1+m}{1+m^2})=(\frac{1+m}{1+m^2},\frac{m+m^2}{1+m^2}) 必能滿足 (*)

亦即 (*) 有無限個有理數解。

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