二次和是和

Quod Erat Demonstrandum

2015/10/15

二次和是和

Filed under: Fun,NSS — johnmayhk @ 5:43 下午

觀察

$1^2+1^2=1+1$

$1.2^2+0.6^2=1.2+0.6$

$1.2^2+0.4^2=1.2+0.4$

…

還有沒有其他例子，滿足以下關係？

$x^2+y^2=x+y$ ……………… (*)

學過圓方程的同學，應該知道 (*) 正是圓方程，所以在該圓（周）上的點，皆滿足 (*)。

換言之，有無限個實數組 $(a,b)$ 滿足 (*)

隨便代入，比方說 $y=0.3$ ，(*) 變成

$x^2+0.3^2=x+0.3$

$\Rightarrow x^2-x-0.21=0$

$\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{1.84}}{2}$

所以有

$(\frac{1\pm \sqrt{1.84}}{2})^2+0.3^2=\frac{1\pm \sqrt{1.84}}{2}+0.3$

這似乎沒有本文最初幾個例子美觀，於是自然問：還有沒有其他有理數解 $(a,b)$ ？

有，大家檢查一下：

$(\frac{1+m}{1+m^2})^2+(\frac{m+m^2}{1+m^2})^2=(\frac{1+m}{1+m^2})+(\frac{m+m^2}{1+m^2})$ ………. (#)

只要在 (#) 中隨便代入有理數 $m$ ，比如 $m=3$ ，得

$(\frac{1+3}{1+9})^2+(\frac{3+9}{1+9})^2=(\frac{1+3}{1+9})+(\frac{3+9}{1+9})$

即

$0.4^2+1.2^2=0.4+1.2$

如何得 (#)？容易，想一想幾何圖像便是。

圖中，圓上任何一點皆滿足 (*)，考慮以直線 $y=mx$ 交之，解交點曰

$x^2+(mx)^2=x+mx$

$\Rightarrow x=\frac{1+m}{1+m^2}$ or $x=0$

即

$(\frac{1+m}{1+m^2},m\frac{1+m}{1+m^2})=(\frac{1+m}{1+m^2},\frac{m+m^2}{1+m^2})$ 必能滿足 (*)

亦即 (*) 有無限個有理數解。

發表迴響

發表迴響 »

目前沒有留言。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

	Simon YAU 在唔打：唯一解與delta非零
	johnmayhk 在在葵盛村的童年
	Gabriel So 在在葵盛村的童年
	uprivateta 在長周素
	Phoebe 在 [FW] 給樂道中學同學的一封信
	johnmayhk 在在葵盛村的童年
	johnmayhk 在在葵盛村的童年
	johnmayhk 在在葵盛村的童年
	姓張在在葵盛村的童年
	姓張在在葵盛村的童年
	姓張在在葵盛村的童年
	johnmayhk 在正弦積
	sinredemption 在正弦積
	湯圓桑在卡塔蘭
	卡特蘭數 & LEETCODE… 在卡塔蘭

Quod Erat Demonstrandum

2015/10/15