Quod Erat Demonstrandum

2015/11/12

無聊兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:39 下午
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1. 初中

參考下圖

johnmayhk-congruce-ass

已知:\angle C=\angle DAC=AD

問:\Delta ABC \cong \Delta ABD 嗎?

如果同學寫:

\angle C=\angle D (given)
AC=AD (given)
AB=AB (common sides)

結論是

\Delta ABC \cong \Delta ABD (ASS)

那理由不能支持結論。

那麼 \Delta ABC \cong \Delta ABD 嗎?

johnmayhk-congruce-ass

找輔助線幫手,連 CD。得

\Delta ACD 是等腰,從而

\angle ACD=\angle ADC,又因已知

\angle ACB=\angle ADB,故

\angle BCD=\angle BDC,從而

BC=BD (sides opp. = ∠s),於是

\Delta ABC \cong \Delta ABD (SSS)

(習題:若上例,\angle C=\angle D 是銳角,那麼 \Delta ABC \cong \Delta ABD 嗎?)

正所謂

"Don’t try to prove congruence with the ASS theorem or you will make an ASS out of yourself."

(資料來源:http://mathworld.wolfram.com/ASSTheorem.html

所以同學小心。

滿足對應的 “ASS" 相等,則該兩個三角形可能全等,亦可能不全等。

假設兩個三角形,有大小相同的 \angle A,對應長度相等的 ABBC。(即所謂 ASS 也)

情況一:A 是銳角

johnmayhk-congruce-ass1

以 AC 為底,則高度是 c\sin A,於是

a=c\sin A,則兩個三角形全等(這時,C 是直角。);
a > c\sin A,則兩個三角形未必全等,見:

johnmayhk-congruce-ass1 johnmayhk-congruce-ass3

情況二:A 是鈍角

johnmayhk-congruce-ass2

必有 a > c,且兩個三角形全等。

證明很重要,有些事情不能單憑肉眼判斷,比如以下四個形狀,有一個不一定是平行四邊形:

johnmayhk-parallelogram

同學,"看"到嗎?

2. 高中

課程內證明四點共圓(concyclic)方法有三:

a. 對角和是 180^o(opp. ∠s supp.)
b. 外角等於內錯角(ext. ∠ = int. opp. ∠)
c. 同弓形內的圓周角之逆定理(converse of ∠s in same segment)

有沒有其他?有,例如考慮比例。

平面上有四點 A,B,C,D;要它們共圓,起碼要 ABCD 是凸多邊形(為何?),那麼對角線段必然相交。設交點為 E。

\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE},則 A,B,C,D 共圓。

證明:考慮經過 A,B,C 的圓,交 BD 於 D’,見

johnmayhk-concyclic1

易知 \Delta AED' \sim \Delta BEC,故 \frac{AE}{D'E}=\frac{BE}{CE}

但已知 \frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE},則 D 和 D’ 重合;亦即 A,B,C,D 共圓。

另外,有關證明切線(tangent),我們也可考慮比例。

johnmayhk-tangent

如上圖,若 AD 切圓 BCD 於 D;AC 交圓於 B。

易知 \Delta ABD \sim \Delta ACD,故 \frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AC},即 AD^2=AB\cdot AC

逆向地,已知線段 ABC 及 AD 滿足 AD^2=AB\cdot AC,則 AD 切圓 BCD 於 D。

證明:若 AD 另交圓 BCD 於 D’,

情況一,D’ 在線段 AD 內,知 \Delta ABD \sim \Delta AD'C

johnmayhk-tangent1

情況二,D’ 在線段 AD 外,知 \Delta ABD' \sim \Delta ADC

johnmayhk-tangent3

兩個情況皆能導出 AD'\cdot AD=AB\cdot AC

已知 AD^2=AB\cdot AC,即 AD'=AD,亦即 D’ 與 D 重合,所以 AD 切圓 BCD 於 D。

早前考過學生一道題:畫 3 個正方形
johnmayhk-3squares1
藍色和黑色對角線相交,連頂點得紅線,見下。問:紅藍線互相垂直嗎?
johnmayhk-3squares2
加上字母,即是問:BK ⊥ DF 嗎?
johnmayhk-3squares3
同學,先試試吧~

由於 BD^2=BE\cdot BF
johnmayhk-3squares4
BD 切圓 DEFD
johnmayhk-3squares5
可以運用有關切線的定理,比如在相對弓形的圓周角(angle in alternate segment)。連 DE,
johnmayhk-3squares6
於是有 \angle BDE=\angle DFE
johnmayhk-3squares7
於是 \angle BDK=\angle BDE+\angle EDF=\angle DFE+\angle EDF=\angle DEA
johnmayhk-3squares8
不難看出 \angle DEA=\angle BAK
johnmayhk-3squares9
所以 \angle BDK=\angle BAK,亦即 B,A,D,K 共點,於是 \angle DKB=180^o-\angle DAB=90^o,故 BK ⊥ DF。

當然還有其他初中程度的證明,在此不贅。

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