Quod Erat Demonstrandum

2015/12/03

至少要有 1 女

Filed under: NSS — johnmayhk @ 1:37 下午
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有 18 男,12 女。在這 30 人中隨意選 8 人,若至少要有 1 女被選,問共有選法組合多少?

學生說:先選出一女,共 C^8_1 種選法。再在餘下的 29 人選 7 個,選法共 C^{29}_7 種。故符合要求的選法有

C^8_1C^{29}_7

咁計有咩問題?

我:問題就係重覆數算,例如第一個選了 G1,餘下的 7 人中,包括了 G2;另一個情況,第一個選了 G2,餘下的 7 人中,包括了 G1;那兩個情況,在 C^8_1C^{29}_7 個情況中,數算為 2 個情況;但其實那兩個情況是同一個情況來。

學生:咁點計?

我:(C^{30}_8-C^{18}_8)

學生:咁 C^8_1C^{29}_7(C^{30}_8-C^{18}_8) 數多了甚麼情況?(學生想用佢個方法,減去重覆數算的數目。)

我:好問題(但不能秒之)

其實最快方法是考慮互補事件,「至少有 1 女」的互補事件就是「沒有女」(即「全男班」),算之曰 (C^{30}_8-C^{18}_8),完。

想直接計「至少有 1 女」,都是要分情況:「僅有 1 女」或「僅有 2 女」或「僅有 2 女」…或「僅有 8 女」,求總和,得選法數目如下:

C^{12}_1C^{18}_7+C^{12}_2C^{18}_6+C^{12}_3C^{18}_5+\dots +C^{12}_8

但授課員最好「順住學生個勢」,以他思考方式出發:即「先選 1 女」,之後再分不同情況,即

1.「之後沒有女」,選法共 C^{12}_1C^{18}_7 種。

2.「之後僅 1 女」,共 C^{11}_1 個選法選該 1 女,由於
  G1,{G2,…} 和
  G2,{G1,…}
  重覆數算;即每 2 個情況,其實代表同一個,故選法共 C^{12}_1\frac{C^{11}_1C^{18}_6}{2} 種。

3.「之後僅 2 女」,共 C^{11}_2 個選法選該 2 女,由於
  G1,{G2,G3,…} ,
  G2,{G1,G3,…} ,
  G3,{G1,G2,…}
  重覆數算;即每 3 個情況,其實代表同一個,故選法共 C^{12}_1\frac{C^{11}_2C^{18}_5}{3} 種。

其他情況類似,從略。故要求的選法數目為

C^{12}_1(C^{18}_7+\frac{C^{11}_1C^{18}_6}{2}+\frac{C^{11}_2C^{18}_5}{3}+\frac{C^{11}_3C^{18}_4}{4}+\frac{C^{11}_4C^{18}_3}{5}+\frac{C^{11}_5C^{18}_2}{6}+\frac{C^{11}_6C^{18}_1}{7}+\frac{C^{11}_7}{8})

不用計算機也知上式無誤,皆因

C^{12}_r=\frac{C^{12}_1C^{11}_r}{r+1}

直接計看來有點煩,希望可以說服學生用考慮互補事件的方法處理之。當然有時學生會堅持用他自己的方式,無所謂啦。

12girls

1 則迴響 »

  1. 女子12樂坊 VS 少林18銅人? LOL

    迴響 由 Seven Chan Sheung-Yin — 2016/06/23 @ 12:24 下午 | 回覆


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