Quod Erat Demonstrandum

2016/01/25

(a+b) 的 4 次

Filed under: Fun — johnmayhk @ 3:29 下午
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前言

早前在顏冊貼有關以圖像說明二項式定理(visualization of binomial theorem)的圖像:

Binomial_theorem_visualisation.svg

因朋友不明白 (a+b)^4 的情況,現略談。

定義

現定義四維超長方體之體積。

首先,我們身處三維,可定義彼此垂直的三個方向:

johnmayhk-4d1

在平面上考慮尺寸為 a\times b 的長方形。想像把該長方形,沿垂直於該平面的方向(即 z-axis)拉出 c 個單位,得長方體,見下:

johnmayhk-4d2

定義其體積為 a\times b\times c

現考慮四維超長方體。要表達四維,我們可以把三維先看成「二維」,那麼長方體就完全躺卧在「平面」(稱之曰:膜)上,見:

johnmayhk-4d3

而這個三維的「平面」,完全躺卧在四維空間(稱之曰:體)。運用想像力,考慮一個可以同時「垂直」 x-axis, y-axis 及 z-axis 的方向,隨便定它為 w-axis,見:

johnmayhk-4d4

現在把完全躺卧三維「平面」的長方體,沿 w-axis 拉出 d 個單位,得四維超長方體,見下:

johnmayhk-4d5

定義其體積為 a\times b\times c\times d

解說

好了,回看原問題。考慮一個邊長為 (a+b) 的三維立方,沿 w-axis 拉出 (a+b) 個單位,生成一個四維超立方,其體積為 (a+b)^4,見下:

johnmayhk-4d6

好了,現在用另一個方式計算那四維超立方的體積。參考上圖,見三維立方由 8 個長方體合成,分別是 1 個紅,3 個橙,3 個綠,1 個藍的長方體;易知它們的大小,因其長的邊是 a 個單位,短的是 b。所以,紅立方的體積是 a^3,橙色方的體積是 a^2b 諸如此類。

現考慮把該三維立方沿 w-axis 先拉出 a 個單位,這樣便生成 8 塊四維長方體(見上圖);之後,再繼續沿 w-axis 拉出 b 個單位,這樣便生成 8 塊四維長方體。於是,把該三維立方沿 w-axis 拉出 (a+b) 個單位後,共生成 16 塊四維長方體。而四維超立方的體積 (a+b)^4,即是 16 塊小小的四維超長方體體積之總和。

1. 原來的三維立方有 1 個紅色方,把紅色方拉出 a 單位,體積為 a^4

johnmayhk-4d7

2. 原來的三維立方有 3 個橙色方,把橙色方拉出 a 單位,體積為 a^2b\times a=a^3b。再把上圖的粉紅色方繼續拉出 b 單位,得的四維長方體積也是 a^3\times b=a^3b,故如此生成的四維長方總體積為 3\times a^3b+a^3b=4a^3b

johnmayhk-4d8

3. 原來的三維立方有 3 個綠色方,把綠色方拉出 a 單位,體積為 ab^2\times a=a^2b^2。再把上圖的三個透明橙方繼續拉出 b 單位,得的四維長方體積也是 a^2b\times b=a^2b^2,故如此生成的四維長方總體積為 3\times a^2b^2+3\times a^2b^2=6a^2b^2

johnmayhk-4d9

4. 原來的三維立方有 1 個藍色方,把藍色方拉出 a 單位,體積為 b^3\times a=ab^3。再把上圖的三個透明綠方繼續拉出 b 單位,得的四維長方體積也是 ab^2\times b=ab^3,故如此生成的四維長方總體積為 ab^3+3\times ab^3=4ab^3

johnmayhk-4da

5. 最後,把上圖的 1 個,體積為 b^3 的透明藍方繼續拉出 b 單位,得的四維長方體積也是 b^3\times b=b^4

johnmayhk-4db

於是,這 16 個小四維長方體積總和,就是大四維長方體積,即

johnmayhk-4dc

結尾

類似地,我們可以考慮把五維超立方,分成 32 個五維小超長方體,以得出 (a+b)^5 的公式:

johnmayhk-4dd

但對一般人(如我)來說,所謂 visualization 的效果不太顯著,殺雞何用牛刀。

1 則迴響 »

  1. 『但對一般人(如我)來說,所謂 visualization 的效果不太顯著,殺雞何用牛刀。』

    我笑了…很中肯XDD

    迴響 由 Alumi — 2016/01/25 @ 6:54 下午 | 回覆


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