# Quod Erat Demonstrandum

## 2016/02/28

### 冪和表成二項式係數

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:05 上午
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2016-01-30 在圖書館某小書的某附錄，見

https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

$C^{n+1}_r=C^n_{r-1}+C^n_r$

http://johnng.inscyber.net/johntalk_puremath02.doc

（若想了解當中原理，可參考　http://johnng.inscyber.net/johntalk_puremath02a.doc，若時間不足者，可先忽略。）

$r^{k}=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jr^{< j >}$

$r^5=r^{< 1 >}+15r^{< 2 >}+25r^{< 3 >}+10r^{< 4 >}+r^{< 5 >}$

$D^5_1=1,D^5_2=15,D^5_3=25,D^5_4=10,D^5_5=1$

$D^6_1=1=D^5_1$
$D^6_2=31=1+30=D^5_1+2D^5_2$
$D^6_3=90=15+75=D^5_2+3D^5_3$
$D^6_4=65=25+40=D^5_3+4D^5_4$
$D^6_5=15=10+5=D^5_4+5D^5_5$
$D^6_6=1=D^5_5$

$D^k_j=D^{k-1}_{j-1}+jD^{k-1}_j$ …………………. (*)

$\displaystyle \sum^n_{r=1}r^{k}$

$=\displaystyle \sum^n_{r=1}\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jr^{< j >}$

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}\displaystyle \sum^n_{r=1}D^k_jr^{< j >}$

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_j\frac{(n+1)^{< j+1 >}}{j+1}$　（這是舊文提及的所謂 F-運算）

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!C^{n+1}_{j+1}$

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!(C^n_{j+1}+C^n_j)$

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!C^n_{j+1}+\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!C^n_j$

$=\displaystyle \sum^{k+1}_{j=2}D^k_{j-1}(j-1)!C^n_j+\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!C^n_j$

$=D^k_1C^n_1+\displaystyle \sum^k_{j=2}(D^k_{j-1}(j-1)!+D^k_jj!)C^n_j+D^k_kk!C^n_{k+1}$

$=\displaystyle \sum^{k+1}_{j=1}(D^k_{j-1}(j-1)!+D^k_jj!)C^n_j$　（因為 $D^k_j=0$ for $j=0$ or $j >k$

$=\displaystyle \sum^{k+1}_{j=1}E^{k+1}_jC^n_j$

$E^{k+1}_j=D^k_{j-1}(j-1)!+D^k_jj!$

$E^{k+1}_j=(j-1)E^k_{j-1}+jE^k_j$

$E^{k+1}_j$

$=D^k_{j-1}(j-1)!+D^k_jj!$

$=(D^{k-1}_{j-2}+(j-1)D^{k-1}_{j-1})(j-1)!+(D^{k-1}_{j-1}+jD^{k-1}_j)j!$　（由 (*)）

$=D^{k-1}_{j-2}(j-1)!+(j-1)D^{k-1}_{j-1}(j-1)!+D^{k-1}_{j-1}j!+jD^{k-1}_jj!$

$=(j-1)(D^{k-1}_{j-2}(j-2)!+D^{k-1}_{j-1}(j-1)!)+j(D^{k-1}_{j-1}(j-1)!+D^{k-1}_jj!)$

$=(j-1)E^k_{j-1}+jE^k_j$

Q.E.D.

$\displaystyle \sum^n_{r=1}r^{5}=\displaystyle \sum^6_{j=1}E^6_jC^n_j=C^n_1+31C^n_2+180C^n_3+390C^n_4+360C^n_5+120C^n_6$

## 2 則迴響 »

1. 其實這些係數只是 finite differences 而已。用算子代數不難得到更一般的公式。

迴響 由 Jacob Ha — 2016/02/28 @ 3:55 上午 | 回應

2. 多謝分享！

迴響 由 Angel閱讀記 — 2017/01/13 @ 2:21 下午 | 回應