Quod Erat Demonstrandum

2016/03/22

正三角頂點軌跡

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:45 下午

設定線 L,並不在其上的定點 O。

johnmayhk-equilateral-triangle1

在 L 上任意取點 Q,再畫出等邊三角形 OPQ。若 Q 在 L 上運行,問 P 點軌跡是甚麼?

點擊以下連結,猜猜看:

https://www.geogebra.org/material/simple/id/2967699

開估了:

看到 P 點軌跡是直線吧,但如何以數學證之?

同學會否受現行 core mathematics 課程影響,一談軌跡第一時間想到坐標幾何,設 P(x,y) 之類?學純數的同學,又會否想用複數或向量破之?應該可以的,但現在我只想用初中的方法處理。

畫線過 O 並平行 L,P_0 在該線上,並設 OP_0Q_0 為等邊三角形。先考慮 OQOQ_0 長的情況,見下

johnmayhk-equilateral-triangle2

易知 \Delta OPP_0 \cong \Delta OQQ_0,故 \angle PP_0O+\angle Q_0P_0O=\angle QQ_0O+\angle Q_0OP_0=180^o,即 P,P_0,Q_0 成一直線。

OQOQ_0 短,情況如下:

johnmayhk-equilateral-triangle3

類似地,易知 \Delta OPP_0 \cong \Delta OQQ_0,於是

\angle P_0PO + \angle Q_0PO

= \angle Q_0QO + 60^o + \angle Q_0PQ

= \angle Q_0QO + 60^o + \angle Q_0OQ (因為 \angle QQ_0O=\angle QPO,所以 Q_0,P,O,Q 共圓)

= \angle Q_0QO + \angle P_0OQ_0 + \angle Q_0OQ

=180^o

P_0,P,Q_0 也成一直線。

Q.E.D.

(監測驗考試時做數,就是數學老師打發無聊時間的方法~)

習題

1. 上法用到共圓似乎有點煩,有沒有更快方法證 P_0,P,Q_0 共線?
2. 試以坐標幾何、複數等方法處理本例。

睇多些

Also read my old post (2006-06-16) below…

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=909558&t=908575

tumblr_mkrmxeZVis1qb4zymo1_500

(網上圖片)

2 則迴響 »

  1. 在第二個情況中用共圓其實可以再簡潔一點
    ∠P_0PO+∠Q_0PO
    =∠Q_0QO+∠Q_0PO (因 ΔOPP_0 與 ΔOQQ_0 全等)
    =180° (因 Q_0, P, O, Q 共圓)

    另外,是否還有 OQ_0 比 OQ 長,而 Q 位於 Q_0 右方的情況要處理?

    迴響 由 Yutaka Juuichi — 2016/03/22 @ 9:17 下午 | 回覆

    • 謝謝。

      對,要多考慮該情況。

      網友說用複數一步證完,也是好方法。

      迴響 由 johnmayhk — 2016/03/22 @ 9:29 下午 | 回覆


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