Quod Erat Demonstrandum

2016/06/06

和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
Tags: , ,

以積分求面積,基本概念也。

故不用真正去計算,只要明白

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx

代表四分一個單位圓的面積,立即知

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

改變積分上限為 t,M2 同學也懂計算

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx (其中 0 < t < 1

x=\sin\theta 又或用部分積分吧。但以圖示之,求上述積分,即是求下圖著色部分面積:

johnmayhk-intefrate-square-root-of-one-minus-x-square

即扇形與三角形面積總和,即

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\times 1^2\times \theta+\frac{1}{2}t\sqrt{1-t^2}=\frac{1}{2}\sin^{-1}t+\frac{1}{2}t\sqrt{1-t^2}

如此,M1 同學也懂計數 \displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx 了(應該)

以下來自 1998 年 Putnam 數學比賽 A2 題:

putnam1998A2

圖像化之,

johnmayhk-sector-integration

可點擊以下連結:

https://www.geogebra.org/m/sP3E5Yza

試拖動那點以改變圓弧的位置。要證明:只要弧長固定,則著色部分的面積不變。

用積分?可以,但麻煩。

解答詳見以下書本 P.250,251

https://books.google.com.hk/books?id=QZ1QY4CWZv4C&printsec=frontcover&dq=The+William+Lowell+Putnam+Mathematical+Competition+1985-2000&hl=zh-TW&sa=X&ved=0ahUKEwjRgq6lxZLNAhWFo5QKHQ8fCSEQ6AEIGzAA#v=onepage&q=The%20William%20Lowell%20Putnam%20Mathematical%20Competition%201985-2000&f=false

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