Quod Erat Demonstrandum

2016/06/16

平方和和積

Filed under: Fun — johnmayhk @ 2:58 下午
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n_1,n_2,n_3,\dots

為正整數,則

(1) n_1^2+n_2^2=n_1n_2 是不可能的。
(2) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3,則 n_1n_2n_3 可被 27 整除。
(3) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2=n_1n_2n_3n_4,則 n_1n_2n_3n_4 可被 16 整除。
(4) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2+n_5^2=n_1n_2n_3n_4n_5,則 n_1n_2n_3n_4n_5 可被 9 整除。
(5) 可以把上述結果一般化嗎?

補充例子:

(2) 3^2+6^2+15^2=3\times 6\times 15
(3) 2^2+6^2+22^2+262^2=2\times 6\times 22\times 262
(4) 1^2+1^2+3^2+9^2+23^2=1\times 1\times 3\times 9\times 23

證明?

(1) (n_1-n_2)^2\ge 0
(2)
首先,如果 n 不能被 3 整除,則 n^2\equiv 1 (\mod 3)
假如 n_1,n_2,n_3 都不能被 3 整除,則
n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3\Rightarrow 1+1+1\equiv 0 \equiv n_1n_2n_3 (\mod 3)
矛盾。
n_1 可被 3 整除,則
n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3\Rightarrow n_2^2+n_3^2\equiv 0n_2n_3\equiv 0 (\mod 3)
那麼如果 n_2 不可被 3 整除,則
1+n_3^2\equiv 0 (\mod 3)
不可能,故
n_2 可被 3 整除,從而
n_3 也可被 3 整除,即
n_1n_2n_3 可被 27 整除。

其他唔講了。

johnmayhk-pyth-thm-fight
畢先生的勾股飛腿:a^2+b^2=c^2(誤)

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