Quod Erat Demonstrandum

2016/07/10

論商餘(三)

Filed under: mathematics,NSS,Teaching — johnmayhk @ 9:45 下午
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一. 帶餘除法

(a) 多項式與數字

聞說以下是某校的試題:

一看,個心離一離。

中四同學,想用餘式定理(remainder theorem),代入 x=1 嗎?不必,題數根本出錯!

第一,x^{-999}+x^{-998}+x^{-997}+\dots +\frac{1}{x}+1 並非多項式,因為多項式要求各項次數(degree)為非負整數。

第二,既非多項式,便沒有帶餘除法可言,何來餘式?

不少人認為:數學,計到咪得囉。身為授課員,不敢苟同。因為答案正確但方法錯,常有(見 https://johnmayhk.wordpress.com/2008/12/13/answers-are-that-important/)。方法對但說不出所以然,更多。其實武功若只求「招式」,例如死記甚麼 f(a)=R 找餘數;而沒有「內功心法」,即背後的意義和理論,遲早出事,連授課員也不能幸免(如擬上題者)。

再問你:如果 f(x),g(x),Q(x),R(x) 皆為多項式,且有

f(x)\equiv g(x)Q(x) + R(x)

我們可以說,當 f(x)g(x) 除時,餘式(remainder)是 R(x) 嗎?

不能!因為多項式的帶餘除法,有規有矩:餘式的次數要嚴格少於除式(divisor)的次數,即要求

\deg R(x) < \deg g(x)

例如

f(x)\equiv (x+1)Q(x)+x^2

我們不能說:當 f(x)(x+1) 除時,餘式是 x^2;因為 x^2 的次數大於 (x+1) 的次數。

記得初初教餘式定理,被學生問:

1.f(x)=x^2 除以 (x+3),用餘式定理計到餘數是 f(-3)=(-3)^2=9,但例如 x=4,則 4^2=16 除以 4+3=7 時,餘數是 2,不是 9 呀!

2.多項式 f(x) 除以 (x-a),餘數是 f(a),但你代 x=a,豈不是說 f(x) 除以零?除到咩?

非常感謝他們給那個時空的大家有討論機會。如果你是授課員,怎答?

1.當把不定元(indeterminate),比方說 x,「代入」數字,式子就由多項式變成數字,不同的範疇,其實有不同的規矩。考慮多項式 x^2\equiv (x+3)(x-3)+9 的情況,9 是餘式。代入 x=4,得 4^2=(4+3)(4-3)+9

16=7\times 1 + 9

這式正確,但我們不會說 9 是餘數,因為跳進整數的範疇,規矩是:餘數少於除數。不是隨便寫

16=7Q+R

就可以說 R 是餘數!要確保 0\le R < 7,我們才說 R 是餘數。

由上式,16=7\times 1 + 9=7\times 1 + 7+2=7\times 2+2

所以 2 是餘數,無誤。

當然,「代入」數字是容許的,只是考慮範疇由多項式改變到數字,小心規矩也有變。比如 2 是 2x 的因子,但代入 x=1.5,我們就不能再說 2 是 2\times 1.5=3 的因子。

至於第二個「除以零」的問題,大家又試化解吧~

(b) 多元多項式

做一元多項式的除法,比如說

(2x^2+x^3-x+3) \div (-3x+1+x^2)

第一步必是把被除式和除式的各項「排好次序」,如上例,我們先把被除式各項按冪由大至小排好,即

(x^3+2x^2-x+3) \div (x^2-3x+1)

隨即進行多項式除法。

如何做?方法起碼有三:

1.長除法(這是美麗的算法,是基礎)
2.綜合除法(最快,我最喜歡它)
3.表列法(不在課課程內,有興趣可以學下)

去片 

不難得商(quotient)與餘式,但對於多元多項式的除法,比如是

第一個要處理的問題是:怎樣才算「排好次序」?x^2yxy^2y^2 孰先孰後?這是非常重要的,因為不同的次序,好導致不同的「答案」!這就是與一元的情況在本質上的最大分別。

假如我們用所謂「字典式」定次序(lexicographic order),即先考慮 x 先於 y,再考慮幕由大至小,我們有

x^2y 先於 xy^2 先於 y^2

若考慮 y 先於 x,即有

y^2x 先於 y^2 先於 yx^2

跟著,我們嘗試模仿一元的長除法,以「第一種」的次序規定,有

若以「第二種」的次序規定,有

看到「次序」的影響嗎?

對一元多項式的帶餘除法,

f(x)\equiv g(x)Q(x) + r(x)

其中,0 \le \deg r(x) < \deg g(x),我們稱 Q(x) 為商,r(x) 為餘式。然而對於多元多項式,甚至我們可以把帶餘除法稍微「擴充」,使除式可以不止一個。

即是說,若 f 能表成

f \equiv g_1Q_1 + g_2Q_2 + \dots + g_nQ_n + r

其中沒有一個 g_ii = 1, 2, \dots, n)能除盡 r 的任何一項,則 r 也可稱為餘式。

這時,不單 f 的各項次序之規定重要,甚至連 g_i 的次序也相當重要,這些次序是直接影響結果的!

舉個例,設

此乃服膺所謂「第一種」的次序規定。考慮兩個除式 g_1g_2

情況一:

進行長除

得餘式 x+y+1,表之曰:

情況二:

進行長除

得餘式 2x+1,表之曰:

不同次序,可以衍生不同答案;同學,有想過嗎?

某意義來說,這是不好的算法。想了解更多,給你一個關鍵字:Grobner basis,暫不敢談太多。

二. 因式分解

(a) 圖象展示

談多項因式分解(factorization)前,先談展開(expansion)。談展開前,先搞搞 gag :

johnmayhk-plan-foil (512 x 512)

估計香港學生唔太明呢個老 gag 搞咩,應該因為香港數學授課員好少提 FOIL:

johnmayhk-foil-plan

其實大家認為展開是很容易的嗎?教學現場告訴我:唔係。學生的答案往往帶來不少驚訝:

展開涉及拆括弧,而括弧對於小學生和中學生的運算重點不同。小學生見 3\times (4+5),下一步應是 3\times 9=27;中學生見 3(b+c),下一步就是乘法分配律 3b+3c。相信同工教乘法分配律時,也曾利用長方形面積作展示:

左圖「拆開」,變右邊兩個長方形;由於左右圖形面積不變,故有 a(b+c)=ab+ac

有云「因式分解」是「展開」的逆運算(當然這是不準確的說法:雖有 2(x+1)+1=2x+3,但不能說 2x+3 的因式分解之結果是 2(x+1)+1),自然想到,把兩個長方形「拼合」(即所謂「拆開」的「逆動作」),見

由於左右圖形面積不變,故有 ab+ac=a(b+c)

johnmayhk-quotient-and-remainder
(圖:中一某堂,在下嘗試展示為何 3a+3b 即是 3(a+b)

用兩長方形的「公共邊」來類比「公因子」,以圖像讓學生對代數式多一角度理解。

大家覺得這是很簡單易明嗎?教學現埸告訴我:唔係。

(a) 兩個長方形可以「拼合」,對應的代數式是否就是可以「因式分解」?(對於 2a+5b,學生畫出兩個長方形,尺寸分別為 1\times 2a1\times 5b,死未~)
(b) 兩個長方形不可以「拼合」,對應的代數式是否就是不可以「因式分解」?(當然不是啦,但難點是學生不一定能把剛才圖象轉移(transfer)到可以展示諸如 4a+6b 的情況。把 6b 變成 2b+2b+2b 還是 3*2b,在圖象及代數運數上已是不同的理解!)

留意,上述的 a,b,c 皆為正數,由上法推出的 ab+ac=a(b+c),不能隨便代入 a=-2 而得 -2b-2c=-2(b+c) 之類。

我們仍可以利用長方形,展示:

-ab-ac=-a(b+c)
ab-ac=a(b-c)
-ab+ac=-a(b-c)

考慮某個區域,在其上取去尺寸為 a\times b 的長方形,區域面積少了 ab,即區域面積改變(change)是 -ab

再在其上取去尺寸為 a\times c 的長方形,區域面積再少了 ac,故區域總面積共改變了 -ab-ac。但觀察下圖,區域被取去一個尺寸為 a\times (b+c) 的長方形,故區域的總面積改變為 -a(b+c)

由於改變了的面積不變,得 -ab-ac=-a(b+c)

類似地,在 a\times b 長方形取去 a\times c 長方形,考慮餘下面積不變,得 ab-ac=a(b-c)

某區域上先取去 a\times b 長方形,再補上 a\times c 長方形,考慮改變面積不變,得 -ab+ac=-a(b-c)

留意上述式子,「負負得正」的現象是自然流露,並非死記而來。

利用長方形面積去教(去看出)因式分解並非新鮮,恆等式 a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 經常以長方形拼合得正方形而得,但對學生學習因式分解真的有用嗎?我沒有做更多的行動研究,不下定論,但相信有些情況,用面積法可以協助解難。

e.g. 1 a^2-b^2=?

下圖 L 形區域的面積為 a^2-b^2

把小長方形剪出:

剛好拼到另一個長方形,長闊分別是 (a+b)(a-b)

它和之前 L 形區域的面積完全一樣,所以 a^2-b^2=(a+b)(a-b)

e.g. 2 證明:任何等差數列的連續四項的乘積都是平方差(difference of squares),例如 1\times 2\times 3\times 4=5^2-1^2

設四數為 a,a+d,a+2d,a+3d,比較中間兩數及頭尾兩數之乘積,不難知

(a+d)(a+2d)-a(a+3d)

=a^2+3ad+2d^2-a^2-3ad

=2d^2

現在考慮長方形,長是 (a+d)(a+2d)=a(a+3d)+2d^2,闊是 a(a+3d);於是面積就是 a(a+d)(a+2d)(a+3d)

公平地分配兩個全等的小長方形,其長闊分別為 a(a+3d)d^2,自然地把它們拼合成:

立即看出 a(a+d)(a+2d)(a+3d)=(a(a+3d)+d^2)^2-(d^2)^2

(注意,利用面積的話,a,d 要是正數,但原題目沒有這規定。)

e.g. 3 因式分解二次多項式(quadratic polynomial)

對於因式分解 x^2+bx+c,其中 b,c 為正整數,有時用長方形去又推又砌,可能幫到學生解題,去片:

其實此法頗舊,所謂運用 algebra tiles 而已。

e.g. 4 a^3-b^3\equiv (a-b)(a^2+ab+b^2) 又可以用砌長方體來展示嗎?

參考下圖(我懶,只用手機徒手畫,見諒),把原體積 a^3-b^3 的立體,沿紅線切開分成三個體積分別為 (a-b)b^2(a-b)ab(a-b)a^2 的長方體:

於是 a^3-b^3\equiv (a-b)b^2+(a-b)ab+(a-b)a^2\equiv (a-b)(a^2+ab+b^2)

同學,想想 a^3+b^3 的情況吧。

(b) 何謂因式分解?

在中學,因式分解的重點是符號運算(symbolic computation),懶理甚麼圖象展示云云,我們很快便嘩啦啦地「玩」,比如:

Factorize the following polynomials:

Q.1 yz^2+xy^2+zx^2-xz^2-zy^2-yx^2
Q.2 x^5+x^4+1
Q.3 x^8+4x^2+4
Q.4 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5

基本上中學數學習題,例如因式分解,利用 wolframalpha 已可全解決,見:

https://johnmayhk.wordpress.com/2011/01/29/boring-factorization/

所以 Q.1 至 Q.4,不用 10 秒,得出答案無誤。步驟?遲些再談。


(巴士座位上的數學題:因式分解 b+ab,大家覺得容易吧?應該吧。但教學現場告訴我:學生會變 b+ab+cbb(a+c) 的。)

在瘋狂地玩因式分解之前,先想想一些基礎問題。

聽同工說:把 -2x-2 分解因式,結果是 -2(x+1),而不是 2(-x-1);理由是「負號還未抽出」,對嗎?我曾利用某地的搜尋引擎,找因式分解的定義,見下:

(資料來源:http://baike.baidu.com/view/19859.htm

當中第 4 點稱:「括弧內第一個數前面不能為負號」。如此,-2(x+1) 符合原則,所以這是對;而寫 2(-x-1) 為答案是錯嗎?

因式分解真的這個「原則」嗎?很累,下次再談。

2 則迴響 »

  1. 在最後一個問題裡,要先聲明在哪一個域裡分解,如果在Q或R裡,-2x-2已是最簡,不必再分解,如果是在Z裡,則需要把2抽出來。

    迴響 由 路人甲 — 2016/07/10 @ 11:06 下午 | 回覆


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