Quod Erat Demonstrandum

2016/07/26

相同特徵值及凱萊哈密頓

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:29 上午
Tags: , ,

免插聲明:本文只是中學程度的討論,高手見諒。

續上個 post:

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

M=\left(\begin{array}{rcl}a& b\\c& d\\\end{array}\right) 的特徵方程為 \det(M-\lambda I)=0,即

\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0

留意上式係數,

(a+d) 就是矩陣 M 的跡(trace),即對角元的和,也是特徵值的和(sum of roots);而

(ad-bc) 就是矩陣 M 的行列式(determinant),也是特徵值的積(product of roots)。

有時出題目,想弄一個 2×2 矩陣,其特徵值是(比方說)2 和 8,可以先寫

\left(\begin{array}{rcl}2& 0\\0& 8\\\end{array}\right)

這太簡單,要弄複雜些,可觀察

trace = 2+8 = 10,所以隨便寫兩個,總和是 10 的兩個數做元,比如是 6,4:

\left(\begin{array}{rcl}6& b\\c& 4\\\end{array}\right)

又因行列式是 2×8=16,故 6×4-bc=16 => bc = 8,即找兩個乘積是 8 的元,比如是 4,2:

\left(\begin{array}{rcl}6& 4\\2& 4\\\end{array}\right)

又例如用 5+5=10,輕易得:

\left(\begin{array}{rcl}5& 1\\9& 5\\\end{array}\right)

其特徵值也是 2 和 8。

上個 post 談到,特徵值不同,則矩陣可被對角化;但若特徵值相同如何?

情況一:仍可被對角化

例如

\left(\begin{array}{rcl}2& 0\\0& 2\\\end{array}\right)

的特徵值是 2,2。但明顯 M 本身是對角矩陣,要對角化?簡單,比如

M=I\left(\begin{array}{rcl}2& 0\\0& 2\\\end{array}\right)I^{-1}

情況二:不能被對角化

例如

\left(\begin{array}{rcl}1& 1\\-1& 3\\\end{array}\right)

唔信?點擊下link吧:

https://www.symbolab.com/solver/matrix-diagonalization-calculator/diagonalize%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%261%5C%5C%20-1%263%5Cend%7Bpmatrix%7D

其實,任何 2×2 矩陣 M,必能寫作以下形式

M=SJS^{-1}

當中的 J 一定是以下其中一種形式

(1) J=\left(\begin{array}{rcl}\lambda_1& 0\\0& \lambda_2\\\end{array}\right),或

(2) J=\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 1\\0& \lambda \\\end{array}\right)

對於 (1),即 M 擁有不同的特徵值而可被對角化者,上 post 已說明。

對於 (2),即 M 擁有相同的特徵值者,用之前例子:

\left(\begin{array}{rcl}1& 1\\-1& 3\\\end{array}\right)

如何寫成 SJS^{-1}

又是那句,用 wolframalpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+decomposition+%7B%7B1,1%7D,%7B-1,3%7D%7D

現在不用電腦,估估,如何把

\left(\begin{array}{rcl}0& 0\\1& 0\\\end{array}\right)

寫成 SJS^{-1}

可以利用置換矩陣(permutation matrix),把 J=\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right) 「變成」 \left(\begin{array}{rcl}0& 0\\1& 0\\\end{array}\right) 要兩個動作:

首先上下兩行互換,對應左乘置換矩陣 \left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right) 這運算,得

\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right)

再左右兩列互換,對應右乘置換矩陣 \left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right) 這運算,得

\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right),故

\left(\begin{array}{rcl}0& 0\\1& 0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}

(有關置換矩陣的例子,可看看:https://johnmayhk.wordpress.com/2010/11/18/simple-examples-about-matrices/

用 wolframalpha 驗算:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+decomposition+%7B%7B0,0%7D,%7B1,0%7D%7D

對修 M2 的同學來說, Jordan decomposition 是陌生名詞,但可能有些題目已利用它擬題。

Jordan decomposition 是更一般的手法分解方陣(square matrix),無論它可被對角化與否。

可被對角化者,當然也可作 Jordan decomposition,例如:

\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\-1& 2\\\end{array}\right)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+decomposition+%7B%7B2,-1%7D,%7B-1,2%7D%7D

形如 J=\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 1\\0& \lambda \\\end{array}\right) 者稱為 Jordan matrix。(因只談 M2 的東西,不多談甚麼 Jordan normal form,Jordan block 云云。)

好了,不用電腦,徒手玩 Jordan decomposition。例子 M=\left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)

首先找特徵值及其特徵向量,因上 post 已談,從略,只給答案:

\lambda =4\left(\begin{array}{rcl}2\\1\\\end{array}\right)

現在尋求另一支列向量 \left(\begin{array}{rcl}h\\k\\\end{array}\right),滿足

(M-\lambda I)\left(\begin{array}{rcl}h\\k\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}2\\1\\\end{array}\right)

\left(\begin{array}{rcl}-2& 4\\-1& 2\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}h\\k\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}2\\1\\\end{array}\right)

\left(\begin{array}{rcl}h\\k\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}-1\\0\\\end{array}\right)

最後,把特徵向量和 \left(\begin{array}{rcl}-1\\0\\\end{array}\right) 放在一起,就是 S,即

M=\left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}4& 1\\0& 4\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}

驗算一下:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B2,-1%7D,%7B1,0%7D%7D%7B%7B4,1%7D,%7B0,4%7D%7D%7B%7B2,-1%7D,%7B1,0%7D%7D%5E(-1)

有了 M=SJS^{-1},不難計算 M^n

如何計 \left(\begin{array}{rcl}\lambda & 1\\0& \lambda \\\end{array}\right)^n ?

例如可以利用二項式定理(binomial theorem):對於 2×2 矩陣 XY,若 XY=YX,則

(X+Y)^n=\displaystyle \sum_{r=0}^nC^n_rX^{n-r}Y^r

(其中 X^0=XY^0=Y

\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 1\\0& \lambda \\\end{array}\right)^n

=(\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right))^n

=\displaystyle \sum_{r=0}^nC^n_r\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)^{n-r}\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)^r

(這是因為 \left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)^n+C^n_1\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)^{n-1}\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)

(這是因為 \left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)^r=\left(\begin{array}{rcl}0 & 0\\0& 0\\\end{array}\right) for r\ge 2

=\left(\begin{array}{rcl}\lambda^n & 0\\0& \lambda^n\\\end{array}\right)+n\left(\begin{array}{rcl}\lambda^{n-1} & 0\\0& \lambda^{n-1}\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{rcl}\lambda^n & n\lambda^{n-1}\\0& \lambda^n\\\end{array}\right)=\lambda^{n-1}\left(\begin{array}{rcl}\lambda & n\\0& \lambda\\\end{array}\right)

所以,求 \left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)^n,先做 Jordan decomposition:

\left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}4& 1\\0& 4\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}

從而

\left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)^n=\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}4& 1\\0& 4\\\end{array}\right)^n\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}

=\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)4^{n-1}\left(\begin{array}{rcl}4& n\\0& 4\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}

= 4^{n-1}\left(\begin{array}{rcl}-2n+4& 4n\\-n& 2n+4\\\end{array}\right)

關於尋求 M^n,亦有一種擬題方法是利用凱萊-哈密頓定理(Cayley-Hamilton theorem)。之前寫過:

https://johnmayhk.wordpress.com/2013/06/19/ch

現在補充一下證明。又是那句,因只談 M2,最多玩 3×3 矩陣,我就證明有關 3×3 矩陣的情況。

M 為 3×3 矩陣,p(t)M 的特徵方程,即

p(t)=\det(M-tI)

不難知 p(t) 是三次多項式,不妨設:

p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3

N=M-tI,得

\det(N)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3

另一方面,M2 同學知,如果 N^{-1} 存在,則

N^{-1}=\frac{adj(N)}{\det(N)}

\Rightarrow \det(N)I=adj(N)N ………. (*)

注意,即使 N^{-1} 不存在,(*) 仍然成立(為何?)

因為 N 的元(entries)和 t 有關;

所以,adj(N) 的每個元,也和 t 有關。

再者,\det(N) 是三次多項式(in t),而 adj(N) 的每個元,都是由刪除對應的行和列,找所謂 cofactor 而得,

所以,adj(N) 的每個元,都是多項式(in t),其 degree 最多是 3-1=2;

adj(N) 的每個元寫為 b_0+b_1t+b_2t^2 這種形式,不難想像,整個 adj(N) 一定能寫成以下形式:

adj(N)=B_0+B_1t+B_2t^2

其中的 B_0,B_1,B_2 是 3×3 常矩陣(即與 t 無關)。

故 (*) 可變成

(a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3)I=(B_0+B_1t+B_2t^2)(M-tI)

視上式是關於 t 的多項式,比較係數,得:

a_0I=B_0M
a_1I=-B_0I+B_1M
a_2I=-B_1I+B_2M
a_3I=-B_2

把第 2,3,4 式分別右乘 M,M^2,M^3,得

a_0I=B_0M
a_1M=-B_0M+B_1M^2
a_2M^2=-B_1M^2+B_2M^3
a_3M^3=-B_2M^3

加起上列四式,得 Cayley-Hamilton 定理:

a_0I+a_1M+a_2M^2+a_3M^3=0\Rightarrow p(M)=0(零矩陣)

Q.E.D.

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