Quod Erat Demonstrandum

2016/08/08

點解2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 11:12 下午
Tags: , ,

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=?

簡單

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2

是也。

如果變成中四 M2 的 MI 習題:

利用數學歸納法證明,對於任何正整數 n

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=n^2

不知同學會否覺得不太容易?

利用下圖,或可略略帶出式子的意義。先把「垂直」的點數加起,即 1+2+3+4+5+6

johnmayhk-sum-3

再把「水平」的點數加起,即 5+4+3+2+1,考慮點的總數為 6^2,輕易得

1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6^2

利用同樣的圖,考慮不同的數算方法:

johnmayhk-sum-2

不難得出另一個結果:1+3+5+7+9+11=6^2

現在多寫個簡單例子:

考慮 A(1,1), C(p,q),問長方形 ABCD (包邊界)上有多少格點(grid points,即x,y坐標為皆整數的點)?

例如下圖,C(5.7,7.3)(即 p=5.7,q=7.3

長方形 ABCD 上,共有 5\times 7=35 個格點,見

如用 p,q 表達,格點則有 [p][q] 個。這裡的方括號 [x] 代表不大於 x 的最大整數,所以

[5.7]=5
[7.3]=7

好了,現在用另一個方式數算長方形 ABCD 上的格點數目。

引入函數嚴格遞增(strictly increasing)函數 y=f(x)

它的圖像(graph)把格點分成三類:

第一類,在圖像或以下的格點,紅色者:

共有 [f(1)]+[f(2)]+\dots +[f(5)] 個(如上圖,即 0+1+2+4+6=13);

一般地,共有 \displaystyle \sum^{[p]}_{k=1}[f(k)] 個。

第二類,在圖像或以上的格點,綠色者:

共有 [f^{-1}(1)]+[f^{-1}(2)]+\dots +[f^{-1}(7)] 個;其中 f^{-1}(x)f(x) 的反函數(inverse function)(如上圖,即 2+2+3+4+4+4+5=24);

一般地,共有 \displaystyle \sum^{[q]}_{k=1}[f^{-1}(k)] 個。

第三類,在圖像上的格點,黃色者:

共有 2 個。

所以,如上例,長方形 ABCD 上的格點共有 13+24-2=35 個。

一般地,考慮 A(1,1), C(p,q),長方形 ABCD 上的格點數目共有

\displaystyle \sum^{[p]}_{k=1}[f(k)]+\displaystyle \sum^{[q]}_{k=1}[f^{-1}(k)]-n

其中 n 是在圖像上的格點之數目。

故推得:

\displaystyle \sum^{[p]}_{k=1}[f(k)]+\displaystyle \sum^{[q]}_{k=1}[f^{-1}(k)]-n=[p][q] ……… (*)

隨便運用一下 (*),比如求以式的值:

[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\dots +[\sqrt{100^2}]

解:

f(x)=\sqrt{x}

f^{-1}(x)=x^2(為何?)

p=100^2,q=100

那麼,在 y=f(x) 圖像上的格點,共 x-坐標分別是 1^2,2^2,\dots ,100^2,共 100 個,亦即

n=100

由 (*),得

([\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\dots +[\sqrt{100^2}])+(1^2+2^2+\dots +100^2)-100=100^2 \times 100

[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\dots +[\sqrt{100^2}]

=100^3+100-\frac{1}{6}(100)(100+1)(200+1)  (因為 1^2+2^2+\dots +n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)

=661750

一般地,同學試試證明:

\displaystyle \sum^{n^2}_{k=1}[\sqrt{k}]=\frac{1}{6}n(4n^2-3n+5)

同學,有信心找 \displaystyle \sum^{n^3}_{k=1}[\sqrt[3]{k}]=? 嗎?

最後,設 p,q 為互素(relatively prime)的正整數,考慮直線 f(x)=\frac{q}{p}x 不難得到:

[\frac{q}{p}]+[\frac{2q}{p}]+[\frac{3q}{p}]+\dots +[\frac{(p-1)q}{p}]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}

同學,試證之。(提示是 \Delta OEC 上的格點數目和在 \Delta OFC 上的相同。且因為 p,q 互素,當 1\le x \le p-1,線段 OC 上並無格點。)

有接觸初等數論的同學,對二次互反律(Law of Quadratic Reciprocity)不會陌生,當中引理的其中一個證明方法,便可利用考慮上述格點數目而得,有興趣也溫習一下吧:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity

Also read

點解
https://johnmayhk.wordpress.com/2014/08/09/solve-by-dots/

[初中] 對角線經過多少正方形?
https://johnmayhk.wordpress.com/2007/10/16/%E5%88%9D%E4%B8%AD-%E5%B0%8D%E8%A7%92%E7%B7%9A%E7%B6%93%E9%81%8E%E5%A4%9A%E5%B0%91%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%EF%BC%9F/

發表迴響 »

仍無迴響。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: