Quod Erat Demonstrandum

2016/10/30

old trick is so…

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:02 下午
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偶見網上某題:

\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}  (n\neq 0),求 nx^2-2kmx+n 的值。

偶見網民解之:

\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}

\Rightarrow \displaystyle \frac{x+1}{x-1}=\frac{\sqrt{km+n}}{\sqrt{km-n}} ………. (1)

\Rightarrow \displaystyle \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}=\frac{km+n}{km-n}

\Rightarrow \displaystyle \frac{(x+1)^2+(x-1)^2}{(x+1)^2-(x-1)^2}=\frac{km}{n} ………. (2)

\Rightarrow \displaystyle \frac{x^2+1}{2x}=\frac{km}{n}

\Rightarrow nx^2-2kmx+n=0

如果你是初中學生,可能問:如何得出 (1)?

此招似乎是我中學時教應數的馮老師不經意地用過,對於煩瑣的應數力學運算或有快少少幫助。對於前輩教員,跳落 (1),不過是輕鬆平常的步驟,但由入職至今,此招我從未教過學生。或許前輩們還有不少奇招異能已無聲湮沒失傳;或許這類知識能力,今天看是無聊透頂,只要上網,比如去 wolframalpha,花十數秒輸入,按 enter,不出零點數秒,已得結果如下:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%3D(sqrt(km%2Bn)%2Bsqrt(km-n))%2F(sqrt(km%2Bn)-sqrt(km-n))+for+m

但我守舊認為,雖然資訊科技是很方便,但不能取代你自己思考或動手,初中同學,你又解釋到為何可以「一步抵壘」,得到 (2)?

翻查我初中時買的數學課外參考書,希望看看以上步驟有沒有列入基礎章法:

係冇嘅。之後又在懷緬古老的代數題,甚麼比例論,甚麼對稱多項式云云:

就這樣,三十多年前的書價:$6,就是知識的價錢吧?

2 則迴響 »

  1. (1) & (2) can be simplified to x=(M+1)/(M-1), which reduces to Mx=M+x+1 being symmetrical and interchangeable in x and M, and hence got M=(x+1)/(x-1) at once.

    迴響 由 Simon YAU — 2016/11/01 @ 8:47 上午 | 回覆

  2. 知識無價

    迴響 由 Angel財經記 — 2016/11/10 @ 2:38 下午 | 回覆


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