Quod Erat Demonstrandum

2016/12/11

小心出題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:18 下午
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早前給學生做某高中數學教科書的某習題:

因為課題涉及 cosine law,於是多數學生解 (a),曰:

AB=\sqrt{30^2+45^2-2(30)(45)\cos(60^o-40^o)}=19.7 m

但有少部份學生,以初中手法處理,考慮兩個直角三角形,得

AB=45\cos 40^o-30\cos 60^o=19.5 m

我用計算機檢查無誤,奇怪,為何兩個正確方法,竟然得出不同答案?

首先我問,兩個方法得出的答案相同是可以證明嗎?即下圖的設定

\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\alpha -\beta)}=b\cos\beta-a\cos\alpha

(這不難證,修 M2 的同學試試。其實這式已暗示:a,b,\alpha,\beta 不是任意安排,給定 a,\alpha,\beta 應得到某 b。)

問題來了,答案不同,難道是計算機問題嗎?如果是這樣,差之毫釐謬以千里豈不是大件事哉?幸好,不是這樣,問題是條問題有問題!

想想如何作圖,我找 GeoGebra 幫手,隨便以 O 為圓心畫半徑為 30 的圓,過 O 畫水平線,量度俯角(angle of depression)30^o,視線交圓於點 A,過 A 畫水平線,見下:

再在 O 量度俯角 40^o,視線應該交地平線於點 B,見下

可是,題目多給了一個條件:OB = 45。這就出問題,因為上圖的 OB,長度並非 45。因為以 O 為圓心,半徑為 45 畫圓,交視線於 C 而不是 B,見下:

後記,感謝網友指出,題目中沒有提及 AB 是 horizontal,即上圖的 C 點才是題目中的 B,於是題目沒有問題,用 cosine law 是正確方法,而初中的方法是不對了。

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