Quod Erat Demonstrandum

2016/12/18

因式分解與畢氏數組

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 3:40 下午
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有些二次式 x^2+bx+c,可以(在整數環上)因式分解為

x^2+bx+c\equiv (x+p)(x+q)

但一般來說,以下四式

x^2+bx+c
x^2-bx+c
x^2+bx-c
x^2-bx-c

未必全部可以。

當然有些情況可以,例如

x^2+5x+6\equiv (x+2)(x+3)
x^2-5x+6\equiv (x-2)(x-3)
x^2+5x-6\equiv (x-1)(x+6)
x^2-5x-6\equiv (x+1)(x-6)

原來考慮邊長為畢氏三元數(Pythagorean triple)的直角三角形,設 b,c 分別是斜邊長及面積,則保證對應的四個二次式都可(在整數環上)因式分解。

比如考慮 (3,4,5),

johnmayhk-pyth-quad-01

其斜邊和面積分別是 5 和 6,對應二次式就是 x^2\pm 5x\pm 6

又例如,考慮畢氏三元數 (5,12,13),即

johnmayhk-pyth-quad-02

其斜邊和面積分別是 13 和 30,對應二次式就是 x^2\pm 13x\pm 30,結果四式都可以(在整數環上)因式分解,見下

x^2+13x+30\equiv (x+3)(x+10)
x^2-13x+30\equiv (x-3)(x-10)
x^2+13x-30\equiv (x-2)(x+15)
x^2-13x-30\equiv (x+2)(x-15)

為何?

初中同學或知畢氏三元數可表為 (m^2-n^2,2mn,m^2+n^2),於是該三角形之面積為

mn(m^2-n^2)=mn(m+n)(m-n)

那麼,做 cross method 之類的分解,常數項便可以有

mn(m^2-n^2)=(m^2+mn)(mn-n^2)

mn(m^2-n^2)=(nm+n^2)(m^2-mn)

兩個分解的選擇,從而得

x^2+(m^2+n^2)x+mn(m+n)(m-n)\equiv (x+m^2-mn)(x+n^2+mn)
x^2-(m^2+n^2)x+mn(m+n)(m-n)\equiv (x-m^2+mn)(x-n^2-mn)
x^2+(m^2+n^2)x-mn(m+n)(m-n)\equiv (x+n^2-mn)(x+m^2+mn)
x^2-(m^2+n^2)x-mn(m+n)(m-n)\equiv (x-n^2+mn)(x-m^2-mn)

Also read

https://johnmayhk.wordpress.com/2008/11/16/f2-mathematics-factorization-by-cross-method/

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