Quod Erat Demonstrandum

2017/01/11

三次方程某解法

Filed under: NSS — johnmayhk @ 6:32 下午
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如何解三次方程(cubic equation)

x^3-26x-5=0 ?

這裡有個解法:

x^3-26x-5=0

\Rightarrow -x(5)^2-(5)+x^3-x=0

變成一條 quadratic equation in ‘5’,於是

\Rightarrow 5=\frac{1\pm \sqrt{1-4(-x)(x^3-x)}}{2(-x)}

\Rightarrow -10x-1=\pm\sqrt{(2x^2-1)^2}

所以得到兩條 quadratic equation in x,從而可解出 x。

把 x 和數字 5 的角色互換,方法有趣,但問題是三次方程有三個根,而上法得兩條二次方程,不是共有四個根嗎?難道當中有重根(repeated roots)?

非也。

上面其中一步:

5=\frac{1\pm \sqrt{1-4(-x)(x^3-x)}}{2(-x)}

之成立,必先有

x\ne 0

-10x-1=\pm\sqrt{(2x^2-1)^2}

中,其中有二次式算出 x=0,要把它刪去,才能留下三個根。

此法不是萬能,根號內 \sqrt{1-4(-x)(x^3-x)} 的東西剛好是完整平方 \sqrt{(2x^2-1)^2} 方能繼續下去,否則無助解題。

(除了 x^3-26x\pm 5=0 外,同學試找有沒有別的三次方程,可以上法解之?)

回看原題目,中四同學可透過因式分解處理:

x^3-26x-5=0

\Rightarrow x^3-25x-x-5=0

\Rightarrow x(x+5)(x-5)-(x+5)=0

\Rightarrow (x+5)(x^2-5x-1)=0

\Rightarrow x=-5,\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}

教中四餘式定理時,我叫學生輸入計算機程式以便因式分解三次多項式,故解三次方程應該沒有難度。

圖:當天在物理實驗室,我和中四同學各自各做自己的東西,綠板上,我寫的不過是 Cardano 法解 x^3+px+q=0,且三個根應是 u+v,\omega u+ \omega^2v, \omega^2 u+ \omega v 其中 \omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

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