Quod Erat Demonstrandum

2017/03/19

盛水水深

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 12:43 下午
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常見初中數學題:

圓錐容器高 H 單位。容器內盛水,垂直倒置時水深 h 單位(Fig. 1),把其倒轉平放水平面後(Fig.2),求水深。

利用相似形體積比等於對應邊比之立方,不難得 k=\sqrt[3]{H^3-h^3},故水深為

(H-\sqrt[3]{H^3-h^3}) 單位。

早前同事出題:如果容器是橢圓體,同樣問題如何解決?

具體一點,參考下圖

容器形狀是橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。

容器內盛水,水深 h 單位(Fig. 3)把容器沿 O 轉 90 度(Fig.4)(注:其實是沿 z-軸),求水深。

h < b

則容器內水的體積為

\displaystyle \pi\int^{-b+h}_{-b}x^2dy=\displaystyle \frac{\pi a^2}{b^2}\int^{-b+h}_{-b}(b^2-y^2)dy=\frac{\pi a^2h^2(3b-h)}{3b^2}

為方便解釋,要把容量放在三維空間考慮。

參考下圖:

(Fig. 5)顯示由 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 環繞 y-軸轉出來的橢圓體(ellipsoid)。其方程如何?

留意,想像在(Fig. 5)俯視橢圓體的水面(藍色者),它是圓形,其方程必形如 x^2+z^2=r^2

另外,其半徑和水深有關,比如當 y=y_0,半徑就可利用橢圓形方程 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 求得 r^2=a^2(1-\frac{y_0^2}{b^2})

於是,不難推得橢圓體的方程為

\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{a^2}=1

(注:若原題目的橢圓形環繞 x-軸轉,轉出的橢圓體方程是 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{b^2}=1。)

好了,把容量沿 z-軸轉 90 度盛的水,和下圖(Fig. 6)把水推到容量最右位置,體積無異。

亦即垂直面 x=k 和橢圓體圍出來的體積(見 Fig. 6)。

而垂直面 x=k 和橢圓體相交部分,形狀如何?只要把 x=k 代入 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{a^2}=1 便可,得

\displaystyle \frac{y^2}{b^2(1-\frac{k^2}{a^2})}+\frac{z^2}{a^2(1-\frac{k^2}{a^2})}=1

即是個橢圓。而橢圓面積是長短半軸(semi-major axis and semi-minor axis)長度之乘積再乘以 \pi,即

\displaystyle \pi ab(1-\frac{k^2}{a^2})

故此,(Fig. 6)中的水的體積是

\displaystyle \int^a_k \pi ab(1-\frac{x^2}{a^2})dx=\frac{\pi b}{3a}(a-k)^2(2a+k)

於是

\displaystyle \frac{\pi b}{3a}(a-k)^2(2a+k)=\frac{\pi a^2h^2(3b-h)}{3b^2}

設要求的水深為 d 單位,即 d=a-k,上式變為以下頗對稱的關係:

b^3d^2(3a-d)=a^3h^2(3b-h)

於是,給定 a,b,h 可解出水深 d

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