Quod Erat Demonstrandum

2017/03/20

無聊 bonus

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:55 上午
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隨便出所謂 bonus 題:

Solve the following equations for real x.

1. 1+9^x+25^x=3^x+5^x+15^x

2. 5^{x+1}+5(2^x)=3(10^x)+25^x+4^x+5

中四同學可以試試。

其實它們是很無聊的。

出題形態是考慮:

設正數 ab;若 a \ne b(a^x-1)(1-b^x) \ge 0

a^x = b^x = 1 \Rightarrow x=0

要達成

(a^x-1)(1-b^x) \ge 0

的效果可以有

(a^x-1)(1-b^x)=(a^x-b^x)^2\Rightarrow 1+b^{2x}+a^{2x}=b^x+a^x+(ab)^x ………. (1)

(a^x-1)(1-b^x)=(a^x+b^x-2)^2\Rightarrow 5a^x+5b^x=3(ab)^x+a^{2x}+b^{2x}+5 ………. (2)

諸如此類。

利用 (1),隨便代入 a=5, b=3

1+9^x+25^x=3^x+5^x+15^x

利用 (2),隨便代入 a=5, b=2

5^{x+1}+5(2^x)=3(10^x)+25^x+4^x+5

咁就出到題答案係零嘅所謂 bonus 了~

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