Quod Erat Demonstrandum

2017/04/16

行列式特性

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:05 下午
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觀同事課,談因式分解行列式(determinant)。

他先給最簡單例子:

Factorize \left|\begin{array}{rcl}a &b &c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|.

我估熟練者很快會把第一行化做 a+b+c,再抽之,即

\left|\begin{array}{rcl}a+b+c &a+b+c &a+b+c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|

=(a+b+c)\left|\begin{array}{rcl}1 &1 &1\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|

但對剛接解行列式特性的學生,未必如此想。當老師問,有人答

\left|\begin{array}{rcl}a &b-a &c-a\\b+c &a-b &a-c \\a^2 &b^2-a^2 &c^2-a^2\\\end{array}\right|

之後沒有繼續下去,因為老師仍有很多東西要講,最後都是展示抽出 a+b+c 的方法。

那我幫學生完成之

\left|\begin{array}{rcl}a &b-a &c-a\\b+c &a-b &a-c \\a^2 &b^2-a^2 &c^2-a^2\\\end{array}\right|

=(a-b)(c-a)\left|\begin{array}{rcl}a &-1 &1\\b+c &1 &-1 \\a^2 &-b-a &c+a\\\end{array}\right|

=(a-b)(c-a)\left|\begin{array}{rcl}a &-1 &0\\b+c &1 &0 \\a^2 &-b-a &c-b\\\end{array}\right|

=(a-b)(c-a)(c-b)\left|\begin{array}{rcl}a &-1 \\b+c &1 \\\end{array}\right|

=(a-b)(c-a)(c-b)(a+b+c)

之後老師給了一道經典題目:

Factorize \left|\begin{array}{rcl}(a-x)^2 &(a-y)^2 &(a-z)^2\\(b-x)^2 &(b-y)^2 &(b-z)^2 \\(c-x)^2 &(c-y)^2 &(c-z)^2\\\end{array}\right|.

注:本題起碼見於 Tranter 的 Techniques of Mathematical Analysis,如下

對於第一次接觸的中五學生,相信有點無從入手。老師選這題的目的是希望使用以下行列式特性:

|MN|=|M||N|

老師提示以上特性後,濟記仔果然有質素,吳同學很快便給出以下步驟:

\left|\begin{array}{rcl}(a-x)^2 &(a-y)^2 &(a-z)^2\\(b-x)^2 &(b-y)^2 &(b-z)^2 \\(c-x)^2 &(c-y)^2 &(c-z)^2\\\end{array}\right|

=\left|\begin{array}{rcl}a^2 &-2a &1\\b^2 &-2b &1 \\c^2 &-2c &1\\\end{array}\right| \left|\begin{array}{rcl}1 &1 &1\\x &y &z \\x^2 &y^2 &z^2\\\end{array}\right|

之後的工作便簡單了。老師問他如何想出,吳同學也輕輕答了,但對大部分其他同學,究竟一句"by inspection"有否幫助?

不用蠻力展開,如何證明

|MN|=|M||N|

其中 M,N 是 3 階方陣(square matrix of order 3)

這是第一年教書,在應用數學堂被學生挑戰的提問。我雖然知道把矩陣化為基本矩陣(Elementary Matrix)的乘積云云不難證明,但他們是中六生,要說他們懂的語言,於是我甚麼都說不出,唯有繼續教 counting 和被學生寸。

那如何解之?先要大家相信中學學的行列式特性,仍可應用在高階行列式,考慮以下 6 階行列式(唔打,手寫算):

同樣地,這方法起碼見於 Tranter。

好了,唔好咁離地,我試下代入大部分學生嘅角色,做那因式分解時完全唔知可以用 |MN|=|M||N|,只要有耐性,應也可解之如下:

說回該堂,老師最後給了下題:

Factorize \left|\begin{array}{rcl}2 &a+b &a^2+b^2\\a+b &a^2+b^2 &a^3+b^3 \\1 &c &c^2\\\end{array}\right|.

可惜因為時間不足,只留給學生自行做了。

其實知道 |MN|=|M||N|,解這題不難。

讓我多給一個提示:

\left(\begin{array}{rcl}2 &a+b &\\a+b &a^2+b^2\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}1 &1 &\\a &b\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}1 &a &\\1 &b\\\end{array}\right)

同工也可仿效這方法,把兩個方陣相乘後,叫學生把答案因式分解返轉頭,應該有唔少學生炒粉~

回想自己學因式分解行列式,其中一個方法現在已「失傳」(於 syllabus 而已),就是考慮齊次式(homogenous polynomials),循環多項式(cyclic polynomials)云云。

例如

Factorize \Delta =\left|\begin{array}{rcl}(b+c)^2 &ab &ac\\ab &(c+a)^2 &bc \\ac &bc &(a+b)^2\\\end{array}\right|.

首先,用想像力展開 \Delta,應該會得到 degree 6 的齊次式。

又運用下想像力,展開 \Delta 後視它為以 a 為不定元的多項式。代入 a=0,行列式變為

\left|\begin{array}{rcl}(b+c)^2 &0 &0 \\0 &c^2 &bc \\ 0 &bc &b^2\\\end{array}\right|=c^2b^2-(bc)(bc)=0

由餘式定理,知 a\Delta 的因子。

同理,分別代入 b=0c=0,該行列式皆零,即 bc 皆為因子。

代入 a=-b-c\Delta

\left|\begin{array}{rcl}(b+c)^2 &(-b-c)b &(-b-c)c \\(-b-c)b &(-b)^2 &bc \\ (-b-c)c &bc &(-c)^2\\\end{array}\right|=(b+c)bc\left|\begin{array}{rcl}b+c &-(b+c) &-(b+c) \\-b & b & b \\ -c &c &c\\\end{array}\right|

=0

a+b+c 也是因子。

\Delta 可表為

abc(a+b+c)Q(a,b,c)

另外,留意把 a,b,c 任何兩個字母互換,\Delta 的值不變,例如把 a,b 互換:

\left|\begin{array}{rcl}(a+c)^2 &ba &bc\\ba &(c+b)^2 &ac \\bc &ac &(b+a)^2\\\end{array}\right|

=-\left|\begin{array}{rcl}ab &(c+a)^2 &bc\\(b+c)^2 &ab &ac \\ac &bc &(a+b)^2\\\end{array}\right|

=\left|\begin{array}{rcl}(b+c)^2 &ab &ac\\ab &(c+a)^2 &bc \\ac &bc &(a+b)^2\\\end{array}\right|

加上 \Delta 是 degree 6 的,於是 Q(a,b,c) 是 degree 2,且把任何兩個字母互換,它值不變,於是可取

Q(a,b,c)=\alpha(a^2+b^2+c^2)+\beta(ab+bc+ca)

\left|\begin{array}{rcl}(b+c)^2 &ab &ac\\ab &(c+a)^2 &bc \\ac &bc &(a+b)^2\\\end{array}\right|=abc(a+b+c)(\alpha(a^2+b^2+c^2)+\beta(ab+bc+ca))

只要任意代入 a,b,c 的值,應可求出 \alpha, \beta 的,比如

代入 a=1,b=1,c=1,得

\left|\begin{array}{rcl}4 &1 &1\\1 &4 &1 \\1 &1 &4\\\end{array}\right|=9(\alpha+\beta)

\Rightarrow \alpha+\beta=6……………….. (1)

代入 a=1,b=1,c=-1,得

\left|\begin{array}{rcl}0 &1 &-1\\1 &0 &-1 \\-1 &-1 &4\\\end{array}\right|=-3\alpha+\beta

\Rightarrow -3\alpha+\beta=-2……………….. (2)

由 (1),(2) 得 \alpha=2, \beta=4,即

\left|\begin{array}{rcl}(b+c)^2 &ab &ac\\ab &(c+a)^2 &bc \\ac &bc &(a+b)^2\\\end{array}\right|=abc(a+b+c)(2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca))

=abc(a+b+c)\times 2(a+b+c)^2

=2abc(a+b+c)^2

頗煩的方法!M2 同學,你有沒有別的方法處理?(一定有啦~)

很久以前,同事已說因式分解行列式是很無聊的一個題目,今天只要 wolframalpha 一下,不出 1 秒便得出答案,見

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+det(%7B%7B(b%2Bc)%5E2,ab,ac%7D,%7Bab,(c%2Ba)%5E2,bc%7D,%7Bac,bc,(a%2Bb)%5E2%7D%7D)

在諮詢文件(http://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/ForumSec_170328_170406.pdf)見:

甚麼行列式性質或將不見於 M2 課程,這又有甚麼問題?沒有,現在火紅紅的 STEM,M 是最後的。

在我失憶前,也貼下舊文:

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=894949&t=894949

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1 則迴響 »

  1. 甚麼很厲害睇到兩個矩陣相乘,只不過是我們平凡人比數學家們食正餐時掉下的面包碎玩弄而已。

    迴響 由 Simon YAU — 2017/04/16 @ 9:53 下午 | 回應


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