Quod Erat Demonstrandum

2017/04/17

人類總是

Filed under: mathematics — johnmayhk @ 6:12 下午

#無聊慎入

很久沒(被安排)教中一,查簿時看到中一學生犯了不少運算錯誤,比如

Solve \frac{1}{2}(x-1)=3.

學生給的第一步是

\frac{1}{2}x=3+1

這不過是云云眾多運算錯誤的一個,且是錯得很合理,只是程序先後出了點問題,變成學生堅實的信仰。

中三學生在坐標幾何一課偶爾要解方程如下:

Solve \sqrt{(1-a)^2+(2-6)^2}=5.

學生給的第一步是

(1-a)+(2-6)=5

他們也不知道錯在哪裡,問:為何第一步要做 squaring?而不是 taking square root?

相信不少同工都做過種種行動研究,可能也有很多關於學生學得更好的成果。有時,問題不是在於學科本身,而是學生面對的其他個人問題,以致學科學習,根本在他們生活中的最低優次。記得某次數學堂,某學生從廁所施然回課室,邊行邊向同學大聲道:數。學。堂。關。我。咩。事?頭腦上完全明白教弱勢學校同工的難處,所以我也不敢抱怨太多。

正常來說,理解學科內容應可打破錯誤信仰,比如看來相似不一定有相似性質,隨便一例:

對有限集 A,B,C,必有

n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

從而推出

n(A\cup B\cup C)

=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)

對某向量空間的有限維子向量空間 A,B,C,必有

\dim(A+B)=\dim(A)+\dim(B)-\dim(A\cap B)

但以下式子是錯:

\dim(A+B+C)

=\dim(A)+\dim(B)+\dim(C)-\dim(A\cap B)-\dim(B\cap C)-\dim(C\cap A)+\dim(A\cap B\cap C)

或許第一年數學本科生也犯過類似錯誤(靠估的),由 A,B 推論到 A,B,C 的情況,當中出現以下問題:

(A+B)\cap C 不一定等於 A\cap C+B\cap C

比如取

A=\{k\left(\begin{array}{rcl}1\\0\\\end{array}\right): k\in \mathbb{R}\},
B=\{k\left(\begin{array}{rcl}0\\1\\\end{array}\right): k\in \mathbb{R}\},
C=\{k\left(\begin{array}{rcl}1\\1\\\end{array}\right): k\in \mathbb{R}\}.

那麼

(A+B)\cap C=\mathbb{R}\cap C=C

A\cap C+B\cap C=\{\left(\begin{array}{rcl}0\\0\\\end{array}\right)\}+\{\left(\begin{array}{rcl}0\\0\\\end{array}\right)\}=\{\left(\begin{array}{rcl}0\\0\\\end{array}\right)\}

(A+B)\cap C \ne A\cap C+B\cap C

一些數學對一些人來說真的不易,我就是經常感到數學很困難,難怪學生時有問:為何數學是主科?

以前讀中學物理,不少同學都想殺咗牛頓。

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