Quod Erat Demonstrandum

2017/04/21

三垂線定理

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 12:56 下午
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(一)前言

第一次聽「三垂線定理」,大抵是今年二月在大同的群組:

第二次聽「三垂線定理」是四月初在中小學數學修訂諮詢會:

(詳見:http://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/PMCForum_170406_07_web.pdf

其實,「三垂線定理」的實質內容,起碼見於 2007 年會考附加數學卷 Q.14 (a),擺明車馬考過證明,見:

相信同工在平日的教學上,談二面夾角時也暗地用了這定理,之前也寫過些少:

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/10/07/core-math-3d-problem-1/

理解「三垂線定理」對尋找二面夾角有幫助嗎?可能對比如上述的題型有用掛,沒實證。有些比較難的東西,當然麻煩多,比如三維空間中隨便給定 A,B,C,D,E 的位置,如何求三角形 ABC 及 ADE 二面的夾角?

(二)證明

參考下圖(懶,手畫算)

平面 H 外有點 P
QPH 上的垂直投影(perpendicular projection),
PQ \perp H,或曰,PQH 的某法線(normal);
R 是在 H 上某點,
QRPRH 上的垂直投影。
\ell 是在 H 上某線。

「三垂線定理」:   若 QR \perp \ell,則 PR \perp \ell

「三垂線定理」逆定理:若 PR \perp \ell,則 QR \perp \ell

(在一些簡體字的網頁見「三垂線定理」逆定理如上述之,但不明白,上面兩個陳述對稱,何不稱第二句為定理,第一句為逆定理?)

之前證明時,不過是利用畢氏定理或純量積(scalar product),這次我想用法線概念。

比如,PQ \perp H,即 PQH 的某法線:

那麼,PQ 會垂直於 H 上的任意直線,如圖,PQ \perp \ellPQ \perp m

逆向地,已知 \ell, m 為平面 H 上某兩條不平行直線,若 PQ \perp \ellPQ \perp m,則 PQ \perp H。[註 1]

好了,回看下圖

證明「三垂線定理」如下:因 PQ \perp \ellQR \perp \ell,故 \ell \perp 平面 PQR。而 PR 在平面 PQR 上,故 \ell \perp PR

證明「三垂線定理」逆定理如下:因 PQ \perp \ellPR \perp \ell,故 \ell \perp 平面 PQR。而 QR 在平面 PQR 上,故 \ell \perp QR

一行證完。

\ellH 上平移,使 R 在其上,就是諮詢會見的圖像,沒甚麼特別:

現在我用「另一種語言」談「三垂線定理」。

\Delta (XYZ) 代表陳述:\Delta XYZ 是直角三角形,當中 \angle XYZ 是直角。參考下圖:

「三垂線定理」即是:若 \Delta(ABC)\Delta(ABD)\Delta(BCD),則 \Delta(ACD)

「三垂線定理」逆定理即是:若 \Delta(ABC)\Delta(ABD)\Delta(ACD),則 \Delta(BCD)

這是否暗示,四面體 ABCD 的其中三面是直角三角形,則餘下的一面必然也是直角三角形?

同學,請自行證明或否證以下兩句:

(甲)若 \Delta(ABC)\Delta(ACD)\Delta(BCD),則 \Delta(ABD)

(乙)若 \Delta(ABD)\Delta(ACD)\Delta(BCD),則 \Delta(ABC)

(三)推廣

現在我想推廣「三垂線定理」至高維的情況。比如 4 維。若只考慮點,不理會甚麼在超平面及在其上的投影云云,情況簡單:

M2 同學學過,在二維和三維空間內,若 \overrightarrow {v_1} 垂直於 \overrightarrow {v_2},則內積(inner product) \overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {v_2}=0;反之亦然。

在三維空間內,設定了彼此垂直的三條軸(即 x-軸,y-軸,z-軸),則當中任意一點 V_1 可有其坐標 V_1(x_1,x_2,x_3),則其位置向量是 \overrightarrow {v_1}=\overrightarrow {OV_1}=x_1\overrightarrow {i}+x_2\overrightarrow {j}+x_3\overrightarrow {k}

而它與另一點 V_2(y_1,y_2,y_3) 的位置向量 \overrightarrow {v_2}=\overrightarrow {OV_2}=y_1\overrightarrow {i}+y_2\overrightarrow {j}+y_3\overrightarrow {k} 之內積是

\overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {v_2}=(x_1\overrightarrow {i}+x_2\overrightarrow {j}+x_3\overrightarrow {k})\cdot (y_1\overrightarrow {i}+y_2\overrightarrow {j}+y_3\overrightarrow {k})=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3

在四維空間內,設定了彼此正交的四條軸,則當中任意一點 V_1 可有其坐標 V_1(x_1,x_2,x_3,x_4),其位置向量為 \overrightarrow {v_1}=\overrightarrow {OV_1}

它與另一點 V_2(y_1,y_2,y_3,y_4) 的位置向量 \overrightarrow {v_2}=\overrightarrow {OV_2} 的內積可定義為

\overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {v_2}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4

於是,在四維空間內,我們可以 \overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {v_2}=0 定義 \overrightarrow {v_1} 正交於(orthogonal to) \overrightarrow {v_2}

現設 P(p_1,p_2,p_3,p_4), Q(q_1,q_2,q_3,q_4), R(r_1,r_2,r_3,r_4), S(s_1,s_2,s_3,s_4)

已知 \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{QR}=0, \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{QS}=0

考慮

\overrightarrow{QR}\cdot \overrightarrow{RS}

=(\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PR})\cdot \overrightarrow{RS}

=\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{RS}+\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}

=\overrightarrow{QP}\cdot (\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QS})+\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}

=0+\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}

=\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}

所以,若 \overrightarrow{QR}\cdot \overrightarrow{RS}=0,則 \overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}=0,反之亦然。

(注:以上用了四維向量內積的分配律,同學試證其可行。)

但這樣簡單的考慮當然不是唯一的推廣方式,想研究在高維某些特殊的超平面(hyperplane)之推廣情況,或可參考下文:

On the thereom of three perpendiculars
https://arxiv.org/pdf/1307.1577.pdf

(四)超平面

以前中學課程也談平面方程云云,趁機寫寫。

如何以代數表達三維空間(歐氏)內的平面 H

設存在 \overrightarrow {n}H 的某(非零的)法向量(normal vector),即 \overrightarrow {n}\perp H,亦即對任意 X,X_0\in H\subset \mathbb{R}^3,有 \overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{X_0X}=0

X_0 是定點,X 是動點,其軌跡就是 H,則

\overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{X_0X}=0

\Rightarrow \overrightarrow {n}\cdot(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OX_0})=0

\Rightarrow \overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{OX}= \overrightarrow {n}\cdot\overrightarrow{OX_0}

\Rightarrow \overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{x}=k 其中 k 是某常數。

X(x_1,x_2,x_3),並 \overrightarrow {n}N(n_1,n_2,n_3) 的位置向量,那麼

\overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{x}=n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3

於是 H 可具體表達如下:

H=\{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=k\}

直觀地,H 是二維的,但如何證明?

下段無可避免地談到線性代數基礎知識,一些名詞有連結,同學盡量參考一下。

留意,若 k\ne 0,則 H 並非向量空間(vector space),因為在 H 內取不同的向量 X,Y,則 X+Y\notin H,原因:n_1(x_1+y_1)+n_2(x_2+y_2)+n_3(x_3+y_3)=2k\ne k

於是,我們把 H 平移到 H',使 O\in H'。即取 X_0=O

H'=\{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=0\}

這樣,H' 便是 \mathbb{R}^3 內的子空間(subspace),也可討論其維度。

\dim H'=2,我們可視 H 是二維的。

\dim H'=2,即存在 2 支線性獨立(linearly independent)的向量 \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\in \mathbb{R}^3,對任意 X=(x_1,x_2,x_3)\in H'\overrightarrow{x} 也可表達為 \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}線性組合(linearly combination),即

\overrightarrow{x}=a_1\overrightarrow{v_1}+a_2\overrightarrow{v_2},當中 a_1,a_2 是某些常數。

n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=0,不失一般性,不妨取 n_1\ne 0(注:\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}

x_1=-\frac{n_2}{n_1}x_2-\frac{n_3}{n_1}x_3,那麼

(x_1,x_2,x_3)

=(-\frac{n_2}{n_1}x_2-\frac{n_3}{n_1}x_3,x_2,x_3)

=x_2(-\frac{n_2}{n_1},1,0)+x_3(-\frac{n_3}{n_1},0,1)

故取

\overrightarrow{v_1}=(-\frac{n_2}{n_1},1,0)

\overrightarrow{v_2}=(-\frac{n_3}{n_1},0,1)

易知 \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2} 是線性獨立的。

H 是二維的。

推而廣之,在 \mathbb{R}^n 內,同樣可以法向量定義超平面 H 如下:

H=\{(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n:m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+\dots +m_nx_n=k\}

同理可證它是 (n-1) 維的。

超直線 \ell 也可定義為超平面之相交,即 \ell:=H_1\cap H_2 云云,它是 (n-2) 維的。

昨晚臨睡前想像四維內的一支一維向量如何正交於那包含我們現存宇宙的三維超平面,久久不能入睡…還有很多好玩東西,但不想多說了。謝謝收看~

[註 1]

已知 \ell, m 為平面 H 上某兩條不平行直線,若 PQ \perp \ellPQ \perp m,則 PQ \perp H(其實指對所有 H 上的線 tPQ \perp t)。現以內積證之。把 \ell, mH 上平移,分別至 QLQM

H 上任何線 t,把它平移至 QT,現證 PQ \perp QT

考慮

\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QT}

=\overrightarrow{PQ} \cdot (a \overrightarrow{QL} + b \overrightarrow{QM}), 其中 a,b 是某常數

=a\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QL}+b\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{QM}

=a(0)+b(0)=0

PQ \perp QT \Rightarrow PQ\perp t

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