Quod Erat Demonstrandum

2017/04/22

逆矩陣

Filed under: mathematics,NSS,University Mathematics — johnmayhk @ 11:10 下午
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趁未失憶,匆匆寫下,高手見諒。

教科書稱:對於方陣(square matrix)A,若存在方陣 B 使

AB=BA=I

則稱 BA 的逆矩陣,記之曰 B=A^{-1}

做習題時,學生檢查了 AB=I 後,著他不用浪費時間再檢查 BA,說:

BA 一定是 I,放心稱 B=A^{-1} 便可。

學生普遍知道 AB 不一定等於 BA

但為何:若 AB=I,則 BA=I

見過以下的所謂證明:

CA=I

CAB=B

CI=B

C=B

BA=I

上面說的是,假設存在那個 C,則那 C 必然是 B;問題是如何確保該 C 真的存在?

不從上面思路,以下是另一個證明,但要有少少線性代數的皮毛知識,見諒。

A,B 為 3 階實方陣,已知 AB=I,證明 BA=I

即證明:對於所有 x=(a\quad b\quad c)^T\in \mathbb{R}^3 恆有 BAx=x

e_1=(1\quad 0\quad 0)^T
e_2=(0\quad 1\quad 0)^T
e_3=(0\quad 0\quad 1)^T

先證明

Be_1,Be_2,Be_3 是線性獨立。

設常數 k_1,k_2,k_3 滿足

k_1Be_1+k_2Be_2+k_3Be_3=0

\Rightarrow A(k_1Be_1+k_2Be_2+k_3Be_3)=A(0)

\Rightarrow k_1ABe_1+k_2ABe_2+k_3ABe_3=0

\Rightarrow k_1e_1+k_2e_2+k_3e_3=0 (因為 AB=I

\Rightarrow k_1=k_2=k_3=0 (因為 e_1,e_2,e_3 線性獨立)

所以,Be_1,Be_2,Be_3 是線性獨立;

因此,對任何 x=(a\quad b\quad c)^T\in \mathbb{R}^3x 可表達成

x=q_1Be_1+q_2Be_2+q_3Be_3,其中 q_1,q_2,q_3 是常數。

現在考慮

BAx

=BA(q_1Be_1+q_2Be_2+q_3Be_3)

=B(q_1ABe_1+q_2ABe_2+q_3ABe_3)

=B(q_1e_1+q_2e_2+q_3e_3)

=q_1Be_1+q_2Be_2+q_3Be_3

=x

BA=I

當然還有其他證明方式,大家找找看~

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