Quod Erat Demonstrandum

2017/06/10

正多邊形方程

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:24 下午
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初中學過極座標(polar coordinates),但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程,到高中,課程也只利用 xy-plane,諸如方程 y=x^2 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程,只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標,即是說,任何一點 P,其座標為 P(r,\theta),其中 rP 和極 O 的距離,\theta 就是 P 的旋轉角(angle of rotation),亦即由所謂正 x-軸量度至 OP 的角度(逆時針者取正,順時針取負)。

所謂利用極座標系統描述圖像方程,即是說,設圖形上任意一點為 P(r,\theta),若找出關係式 r=r(\theta),則該圖像之方程就是 r=r(\theta)

利用極座標系統描述圖像方程,方程有時是很簡潔的。以下看到,利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像:

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示,單位圓外接正 n 邊形的方程是

\displaystyle r=\frac{1}{\cos(\frac{2}{n}\sin^{-1}(\sin(\frac{n}{2}\theta)))}

現解釋為何上式可描繪出單位圓外接正 n 邊形之圖像。讓我以正五邊形為例。

上圖題示,紅點的軌跡是正五邊形,留意旋轉角 \theta 由 0∘ 改變到 360∘,紅點和 O 的距離(r)不斷改變,即 r=r(\theta)。且由形狀之對稱,感覺到 r=r(\theta) 應是周期函數。

詳細一些:

設 M,N,Q,R,S 分別為線段 AB,BC,CD.DE,EA 的中點。r=OP

P 由 S 至 A,\theta 由 0∘ 至 36∘,則 r=\displaystyle\frac{1}{\cos\theta}

P 由 A 至 M,\theta 由 36∘ 至 72∘,則 r=\displaystyle\frac{1}{\cos(72^o-\theta)}

P 由 M 至 B,\theta 由 72∘ 至 108∘,則 r=\displaystyle\frac{1}{\cos(\theta-72^o)}

諸如此類。但上述三式各異,如何統一它們?考慮 \phiOP 和最接近的虛線的夾角,則無論 P 在哪方,皆有

r=\displaystyle\frac{1}{\cos\phi}

下一步就是找 \phi\theta 之關係。(為美觀,角度轉用弧度量度)不難得出

\displaystyle 0\le \theta \le \frac{\pi}{5},則 \phi=\theta

\displaystyle \frac{\pi}{5}\le \theta \le \frac{2\pi}{5},則 \phi=\frac{2\pi}{5}-\theta

\displaystyle \frac{2\pi}{5}\le \theta \le \frac{3\pi}{5},則 \phi=\theta-\frac{2\pi}{5}

\displaystyle \frac{3\pi}{5}\le \theta \le \frac{4\pi}{5},則 \phi=\frac{4\pi}{5}-\theta

\displaystyle \frac{4\pi}{5}\le \theta \le \frac{5\pi}{5},則 \phi=\theta-\frac{4\pi}{5}

諸如此類。以圖表之:

由於 \cos(-\phi) \equiv \cos\phi,故考慮以下 \phi\theta 的關係,無損原式 r=\displaystyle\frac{1}{\cos\phi}

這圖像,性質有點像 sine wave(周期變化,值域是正負某個數之類)。然而,它是直線段而成,且輸入角度,輸出的不是正弦比,而是另一個角度。

那麼,如果考慮 \sin^{-1}(\sin(x)) 之類,不就是周期變化,且輸入角度,輸出角度的模式嗎?

先了解一下反正弦函數的東西。

\sin^{-1}(\sin(x))\equiv x 嗎?

不一定。一般情況,反正弦函數 y=\sin^{-1}(k) 的值域定為 -\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2},於是,比方說 \sin^{-1}(\sin(\pi))\ne \pi 而是 0。

其實,對於任意角度 \alpha\sin^{-1}(\sin(\alpha))= \beta,其中 \beta 規限在介乎 -\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{2} 之間,見下圖:

略作分析,易知

\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le x \le \frac{\pi}{2},則 \sin^{-1}(\sin(x))=x

\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x \le \frac{3\pi}{2},則 \sin^{-1}(\sin(x))=\pi-x

\displaystyle \frac{3\pi}{2}\le x \le \frac{5\pi}{2},則 \sin^{-1}(\sin(x))=x-2\pi

\displaystyle \frac{5\pi}{2}\le x \le \frac{7\pi}{2},則 \sin^{-1}(\sin(x))=3\pi-x

諸如此類。以圖表之:

看吧,這和之前希望得到的 \phi\theta 圖極之相似:

f(x)=\sin^{-1}(\sin(x))

現在運用高中數學有關圖像變換的知識,由 f(x) 變成 f(\frac{5}{2}x),圖就沿 x-軸收縮成原先的 \frac{2}{5} 倍。再由 f(\frac{5}{2}x) 變成 \frac{2}{5}f(\frac{5}{2}x),圖就沿 y-軸收縮成原先的 \frac{2}{5} 倍。

即是說,上圖的方程,正是 \displaystyle \phi=\frac{2}{5}f(\frac{5}{2}\theta)=\frac{2}{5}\sin^{-1}(\sin(\frac{5}{2}\theta))

也即是說,單位圓外接正五邊形的方程是

\displaystyle r=\frac{1}{\cos\phi}=\frac{1}{\cos(\frac{2}{5}\sin^{-1}(\sin(\frac{5}{2}\theta)))}

一般地,單位圓外接正 n 邊形的方程是

\displaystyle r=\frac{1}{\cos(\frac{2}{n}\sin^{-1}(\sin(\frac{n}{2}\theta)))}

類似地,不難推論單位圓內接正 n 邊形的方程為

\displaystyle r=\frac{\cos(\frac{\pi}{n})}{\cos(\frac{2}{n}\sin^{-1}(\sin(\frac{n}{2}\theta)))}

同學,試證之。

我喜歡數學藝術,比如再去一去,

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

之後試試改變一些參數,我們可以畫下畫,如:

步驟一:click 12

步驟二:輸入増量,比如 0.1

步驟三:click play

看到那美麗的圖像嗎?大家有興趣繼續以數學解釋它嗎?

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