Quod Erat Demonstrandum

2017/06/21

兩題二次方程

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 6:28 下午
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1.

早前學生問了道不錯的題:

Refer to the figure below.

If \alpha and \beta are x-coordinates of P and Q respectively such that \alpha^2+\beta^2=13, find the value(s) of m.

這是基本題目,同學應會解之如下:

-x^2+3x-2=mx-8
x^2+(m-3)x-6=0

\alpha^2+\beta^2=13
(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=13

(3-m)^2-2(-6)=13
3-m=\pm 1
m=4 or m=2

完工嗎?

未。

= = = 停一停,想一想 = = = 

開估。圖像有個條件:P 的 y-coordinate 非零

m=4,解出 P 的 y-coordinate 為 0;故 m=4 不合,即原題答案只有 m=2

2.

在高中數學課程中,當我們考慮 \Delta,多數是和零比較,諸如 \Delta \ge 0\Delta < 0 之類。

所以諸如以下題目

Suppose x^2+kx+1 > k for any real value of x, find the range of values of k,

不明所以的學生寫

\Delta > k

(學生常犯錯誤之一)時,十居其十是錯的。

不過,之前見下題:

Suppose two tangents to the graph y=x^2+kx+1 from O are perpendicular to each other, find the value(s) of k.

解之如下

\Delta=-1

\Rightarrow k^2-4=-1

\Rightarrow k=\pm\sqrt{3}

畫其中一個情況:m=\sqrt{3} 如下

留意到設

\Delta=-1

這步嗎?

這是舊東西,現在解說下。

若直線 y=mxy=ax^2+bx+c 的切線(tangent),則下式的 \Delta 是零:

ax^2+bx+c=mx

(b-m)^2-4ac=0

\Rightarrow m^2-2bm+b^2-4ac=0 ………………….. (*)

設上式解出的 mm_1,m_2;即兩條切線的 slopes 分別是 m_1,m_2

已知切線互相垂直,即 m_1m_2=-1

m_1m_2 是 product of roots of (*)

即是說

b^2-4ac=-1

亦即 ax^2+bx+c

\Delta=-1

也。

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