Quod Erat Demonstrandum

2017/06/23

實數問題複數解決

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:43 下午
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幾個月前的中學數學科諮詢文件見 M1,M2 外的 Further Mathematics 內容,重遇會考附加數學一些內容:

運用當中一個特性 z\overline{z}=|z|^2,輕易得出下式:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

式子在說:平方和的積,仍是平方和。

現在的中學生,大部分不會知道甚麼是 \overline{z},甚麼是 |z|,從而看不到證明的美麗。不過,我們仍可勉強看出一個道理:實數的問題,可以透過複數幫忙解決,實則虛之,見下:

我們慬因式分解

a^2-b^2

答案是 (a+b)(a-b)

如果允許複數,我們也可因式分解

a^2+b^2

如下

a^2+b^2

=a^2-i^2b^2

=a^2-(bi)^2

=(a+bi)(a-bi)

於是

(a^2+b^2)(c^2+d^2)

=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)

=(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)

=((ac-bd)+(ad+bc)i)((ac-bd)-(ad+bc)i)

=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

又或者

(a^2+b^2)(c^2+d^2)

=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)

=(a+bi)(c-di)(a-bi)(c+di)

=((ac+bd)-(ad-bc)i)((ac+bd)+(ad-bc)i)

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

隨便代入一些整數 a,b,c,d,比如

a=3,b=4,c=5,d=6,由上兩式得

(3\times 5-4\times 6)^2+(3\times 6+4\times 5)^2=(3\times 5+4\times 6)^2+(3\times 6-4\times 5)^2

9^2+38^2=39^2+2^2

諸如此類之結果~

上述式子不過是 Brahmagupta’s identity 在 n=1 時的情況,見

https://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%27s_identity

同學試試證明之。

利用矩陣,得到更多,見舊文:
http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=894949&t=894949

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