Quod Erat Demonstrandum

2017/06/29

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Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:03 下午

剛才偷偷在教員室想出以下式子:

777=\sqrt{2}\displaystyle \sum_{k=1}^{777}k^2\cos(45^o+(k-2)90^o)

如何得?

中二同學,首先簡化下式看看:

k^2-(k+1)^2-(k+2)^2+(k+3)^2

如果懶唔想做,可以:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=k%5E2-(k%2B1)%5E2-(k%2B2)%5E2%2B(k%2B3)%5E2

原來

k^2-(k+1)^2-(k+2)^2+(k+3)^2\equiv 4

上式說明,隨便代入 k 值,答案都是 4。

於是

5=1^2+4=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2 (put k=2

9=5+4=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+4=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+6^2-7^2-8^2+9^2 (put k=6

13=9+4=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+6^2-7^2-8^2+9^2+4

=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+6^2-7^2-8^2+9^2+10^2-11^2-12^2+13^2 (put k=10

諸如此類~

777=1+4\times 194

所以,依從上述程序,777 必能寫成以下形式:

777=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+\dots +777^2

用 summation sign 表之,只要想想如何表達以下數列

{1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,…}

便可。

想到 cosine 值在 I,II,III,IV 象限分別為 +,-,-,+

\sqrt{2}\cos 45^o=1\sqrt{2}\sin 45^o=1

於是上述數列可表為

{\cos(45^o+(k-1)90^o)} for k=1,2,3,\dots

從而推出

777=\sqrt{2}\displaystyle \sum_{k=1}^{777}k^2\cos(45^o+(k-2)90^o)

其實任何整數皆可表達成以下形式

\pm 1^2\pm 2^2\pm 3^2\pm 4^2 \dots \pm n^2

且表達式有無限種。

為何無限種?

因為

0

=4-4

=k^2-(k+1)^2-(k+2)^2+(k+3)^2-(k+4)^2+(k+5)^2+(k+6)^2-(k+7)^2

也。


(圖文不符~圖片摘自某MV)

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