Quod Erat Demonstrandum

2017/08/12

重積求面積

Filed under: mathematics,NSS,University Mathematics — johnmayhk @ 6:10 下午
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1.某中四題:

求直線 x+y=1, x+y=5, x-2y=-2x-2y=4 圍出來的平行四邊形之面積。

可用重積分處理如下

D 為該平行四邊形區域,則面積是

\displaystyle \int \int_D dxdy

x+y=u
x-2y=v

x=\frac{2u+v}{3}
y=\frac{u-v}{3}

故,雅可比行列式(Jacobian determinant)J

x_uy_v-x_vy_u = \frac{2}{3}\frac{-1}{3}-\frac{1}{3}\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}

故面積為

\displaystyle \int \int_D dxdy

=\displaystyle \int \int_{D'} |J|dudv

=\displaystyle \int_{v=-2}^{v=4} \int_{u=1}^{u=5} \frac{1}{3}dudv

=\frac{1}{3}(4)(6)

=8

中四同學可以驗算一下。

2.某 M2 題

求曲線 y=2x^2, y=\frac{x^2}{2}, x=4y^2x=\frac{y^2}{3} 圍出的區域(下圖橙色者)之面積。

D 為該區域,則面積是

\displaystyle \int \int_D dxdy

y=ux^2
x=vy^2

x=u^{-\frac{2}{3}}v^{-\frac{1}{3}}
y=u^{-\frac{1}{3}}v^{-\frac{2}{3}}

故,J

x_uy_v-x_vy_u
= (-\frac{2}{3}u^{-\frac{5}{3}}v^{-\frac{1}{3}})(-\frac{2}{3}u^{-\frac{1}{3}}v^{-\frac{5}{3}})-(-\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}v^{-\frac{4}{3}})(-\frac{1}{3}u^{-\frac{4}{3}}v^{-\frac{2}{3}})
= \frac{1}{3}u^{-2}v^{-2}

故面積為

\displaystyle \int \int_D dxdy

=\displaystyle \int \int_{D'} |J|dudv

=\displaystyle \int_{v=\frac{1}{3}}^{v=4} \int_{u=\frac{1}{2}}^{u=2} \frac{1}{3}u^{-2}v^{-2}dudv

=\frac{1}{3}\displaystyle \int_{v=\frac{1}{3}}^{v=4}v^{-2}(-u^{-1})_{\frac{1}{2}}^2dv

=\frac{1}{2}(-v^{-1})^4_{\frac{1}{3}}

=\frac{11}{8}

M2 同學可以驗算一下。

後記:此例有

x=f(u,v)
y=g(u,v)

J 較直接;但一般地,若有

f(x,y,u,v)=0
g(x,y,u,v)=0

J 不易。

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