Quod Erat Demonstrandum

2017/08/13

最小值

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:19 下午

教中三不等式時,跟同學討論過:

已知

x\ge 3

我們不能說

x 的最小值是 3,

除非 x 真的可以等於 3。

舉一例。

實數 x,設 f(x)=(x^2+1)^2+3

易知 f(x) \ge 3

f(x) 的最小值不是 3,而是 4。

多談一例。

我們知道,對於任何正數 x,必有

x+\frac{1}{x} \ge 2

為何?

只要考慮

x+\frac{1}{x}=(\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}})^2+2

即是說

x+\frac{1}{x} \ge 2

好了,這裡有一道舊題:

設正數 a,b 滿足 a+b=1,求 (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 的最小值。

以下是錯解:

a+\frac{1}{a} \ge 2\Rightarrow (a+\frac{1}{a})^2 \ge 4

同理

(b+\frac{1}{b})^2 \ge 4

把上兩式加起來,便有

(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\ge 8 ……………….. (*)

所以

(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 的最小值是 8 嗎?錯!

雖然 (*) 是對的,但其最小值不是 8,而是 \frac{25}{2}

先看看答案:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimum+(a%2B1%2Fa)%5E2%2B(b%2B1%2Fb)%5E2+for+a%2Bb%3D1+and+a%3E0+and+b%3E0

容易解釋為何最小值不是 8,因為

(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 不能等於 8。

要使它等於 8,必要

(a+\frac{1}{a})^2 = (b+\frac{1}{b})^2 = 4

必有

a=b=1

但這是不合題的,因為題目要求

a+b=1

要找出最小值是 \frac{25}{2},有數個方法,這裡談兩個。

考慮點 P(a+\frac{1}{a},b+\frac{1}{b})QP 在直線 x+y=0 之垂足(foot of perpendicular),見下圖

必有

PO \ge PQ

同學試去以下連結,drag 下 a 值,看看如何:

https://www.geogebra.org/m/KkcCjPGT

所以

\sqrt{(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2}\ge \frac{|(a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})|}{\sqrt{1^2+1^2}}

注:求 PQ 是利用以前中四附加數學知識,點 (x_0,y_0) 和直線 Ax+By+C=0 之距離為 \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

於是

(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\ge \frac{(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^2}{2}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{ab})^2(因為 a+b=1

好了,對於任何正數 a,b,必有

a+b\ge 2\sqrt{ab}

這是因為

(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0\Rightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge 0

如果 a+b=1,得

1\ge 2\sqrt{ab}\Rightarrow \frac{1}{ab}\ge 4

從而

(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\ge \frac{1}{2}(1+4)^2 = \frac{25}{2}

a=b=\frac{1}{2}

(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2=(\frac{5}{2})^2+(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{2},數值可達,

所以才敢說

(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 的最小值是 \frac{25}{2}

其實以上手法不過是利用以前純數學過的一道最基本的不等式「算幾不等式」,舊人可證明以下更一般的結果:

已知正數 a_1,a_2,\dots ,a_n 滿足 a_1+a_2+\dots +a_n=k(其中 k 為常數),則

\displaystyle \sum_{i=1}^n (a_i+\frac{1}{a_i})^m\ge n(\frac{k}{n}+\frac{n}{k})^m

說回 n=2,k=1 的情況,M1 或 M2 的同學也可以求導法處理,即求

f(x)=(x+\frac{1}{x})^2+(1-x+\frac{1}{1-x})^2

的整體極小值(global minimum),其中 x > 0

不過我沒有興趣做,找機器代勞:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+(x%2B1%2Fx)%5E2%2B(1-x%2B1%2F(1-x))%5E2

上面連結顯示,導數有三個 zeros(即使 f'(x)=0x 值),分別是

x=\frac{1}{2}

x=\frac{1}{6}(2-2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{25-3\sqrt{69}}-2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{25+3\sqrt{69}}) < 0

x=\frac{1}{6}(4+2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{25-3\sqrt{69}}+2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{25+3\sqrt{69}}) > 1

所以只有 x=\frac{1}{2} 才符合 0 < x < 1 的要求。

又因為

f''(\frac{1}{2})=196 > 0

(當然唔係人手做咁蠢啦,找機器幫唔做兩秒搞定:https://www.wolframalpha.com/input/?i=2nd+derivative+(x%2B1%2Fx)%5E2%2B(1-x%2B1%2F(1-x))%5E2++at+x%3D0.5

於是,對於 0 < x < 1f(x) 的(整體)最小值就是 f(\frac{1}{2})=\frac{25}{2} 了。

注:之前想用 \triangledown f=\lambda \triangledown g,原來冇咩好處,免提了。

若刪除 a,b 為正數這條件,題目變為

設實數 a,b 滿足 a+b=1,求 (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 的最小值。

wolframalpha 告之

咁多手求埋 maximum,它告之

看到有趣之處嗎?

忘記了 year 1 的東西?可以溫習下:

https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/lagrange-multipliers-and-constrained-optimization/v/constrained-optimization-introduction

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