Quod Erat Demonstrandum

2017/09/14

又因式分解

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 12:45 下午
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以前中二教的因式分解,今年放在中三才教,內容包括 cross method 和 sums and differences in cubes.

關於十字相乘法,十多年前的師訓已談過另一個方法,就是把中項裂開成兩項,再用 grouping 云云,以幫助成績稍遜的學生。可是利用計算機做因式分解的誘惑太大,我班有些中三仔,一早已用計算機了。

對於他們,唯有給一些 EQ(easy question)讓他們覺得上課有點意義。比如

Factorize 2x^2+7xy+9x+13y+6y^2-5.

其實這題是可以用 cross method 處理的。

先把上式按各項的 degree 由大至小排好:

2x^2+7xy+6y^2+9x+13y-5

注意首三個二次項,它們是按 x 的 power 由大至小排好的。

做 grouping

(2x^2+7xy+6y^2)+(9x+13y)-5

把第一個括弧內的東西(比如用 cross method )作因式分解,得

(2x+3y)(x+2y)+(9x+13y)-5

好了,現在又是 cross method 出場。

把所謂首項 (2x+3y)(x+2y) 的因子列出如下:

之後分解常數項 -5,有 1*5 和 5*1 兩個選擇(暫不理會負號),試之曰

十字相乘之,曰

適當放上正負號,務求得題目的中項 (9x+13y)

算法終,即

2x^2+7xy+6y^2+9x+13y-5 \equiv (2x+3y-1)(x+2y+5)

舊人對凡此種種並不陌生,因為以前純數 conic section 一課,找 equation of a pair of straight lines 時,有時就是要因式分解該二次式。

習題(中三 EQ)

1. Factorize 3x^2-8y^2+10xy-7x+2.

2. Factorize 12x^2-6y^2-14z^2+xy+22xz+25yz.

3. Factorize 3x^2-10y^2+13xy-9xz+6yz+x+5y-3z.

*4. Solve 17x^2+2y^2=6xy+26x-4y-10 for real numbers x and y.

答案,交畀電腦做:

1. http://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+3x%5E2-8y%5E2%2B10xy-7x%2B2

2. http://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+12x%5E2-6y%5E2-14z%5E2%2Bxy%2B22xz%2B25yz

3. http://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+3x%5E2-10y%5E2%2B13xy-9xz%2B6yz%2Bx%2B5y-3z

4. (x,y)=(\frac{4}{5},\frac{1}{5})

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