Quod Erat Demonstrandum

2017/09/21

core math 某題:標準差

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 4:49 下午
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把某統計資料集合,比如

以點圖(Dot plot)表示如下:

我們可以找出這集的標準差(standard deviation),電腦代勞,見下:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5

好了,現有兩組資料,分別以紅藍兩種顏色表示如下:

問:兩組資料集的標準差相等嗎?

不用直接計算,紅組不過是把藍組對應點,右移 7 個單位,情況就如把同班學生的數學測驗分,每人都加 7 分,無損彼此間分數之參差,即標準差沒改變。

找電腦確認一下:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+8,8,8,9,9,9,9,9,10,10,11,11,11,12

好了,如果點圖如下:

問:藍綠兩組資料集的標準差相等嗎?

在班中問過此例,學生也感猶疑。你認為怎樣?

先找電腦輸入資料

確定一下:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+8,9,9,9,10,10,11,11,11,11,11,12,12,12

可知藍綠兩組資料集的標準差是相等的。

如何解釋這現象?會不會只是因為資料與資料的間距相同(相差一個單位)才會這樣?

讓我加多一對「對稱」點(和旁邊的資料間距為 0.5 者)如下:

請問,以上藍綠兩組資料集的標準差相等嗎?

藍組的標準差是

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5,5.5

綠組的標準差是

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+7.5,8,9,9,9,10,10,11,11,11,11,11,12,12,12

也是相等的。初步猜想,因兩組資料點的「分佈形狀」一樣,「離散程度」理應相同。

但如何證明或否證上述猜想?

(即如何使用數學說服同學?那天,我見部份沒有在堂上睡覺的學生滿臉狐疑,很想多談,但都是走過場算,少在堂上談這些無聊東西,在 blog 談算。)

先要知道,把整個資料點集左右平移,完全不會影響該集的標準差,標準差仍保持不變。

於是我可以把藍綠兩組資料點集平移到一個位置,使對稱軸落在 x=0 的位置,見下:

假設綠組的資料是

對稱地,藍組的資料便是

又假設綠組的平均數是 \overline{x}

易知藍組的平均數是 -\overline{x}(同學,證明一下)

於是,綠組的方差(variance)是

\displaystyle \frac{1}{N}((x_1-\overline{x})^2f_1+(x_2-\overline{x})^2f_2 +\dots +(x_n-\overline{x})^2f_n)

(其中 N=f_1+f_2+\dots +f_n

而藍組的方差是

\displaystyle \frac{1}{N}((-x_1-(-\overline{x}))^2f_1+(-x_2-(-\overline{x}))^2f_2 +\dots +(-x_n-(-\overline{x}))^2f_n)

=\displaystyle \frac{1}{N}((\overline{x}-x_1)^2f_1+(\overline{x}-x_2)^2f_2 +\dots +(\overline{x}-x_n)^2f_n)

=\displaystyle \frac{1}{N}((x_1-\overline{x})^2f_1+(x_2-\overline{x})^2f_2 +\dots +(x_n-\overline{x})^2f_n)

可見藍綠組的方差相等,故它們的標準差也相同。

注:因這是 core mathematics 的東西,我逃避使用 summation sign 和更直接的方差公式:

\sigma^2 =\frac{1}{N}\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i^2f_i-\overline{x}^2

Also read

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/01/12/just-a-core-math-question/

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/01/14/just-a-question-of-core-math-2/

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