Quod Erat Demonstrandum

2017/11/14

as gs

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:29 上午
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同事擬 core mathematics 某統測題如下:

Derive the formula for the sum of first n terms of the following sequence in terms of a,b,d,r,n, where r \ne 1.

ab,(a+d)br,(a+2d)br^2,(a+3d)br^3,\dots

我班沒人得出答案。沒所謂,全卷 67 分,這必答題佔 6 分而已。

上述數列稱為 arithmetico-geometric sequence,我以前教 applied math 時就隨便稱它為 AGS。

在 applied math 的課程,推導上式是基本技巧,回應著以下基本問題:

比如,盒子內有 1 個黑球 2 個白球,隨機抽出 1 球,若黑球被抽出,停止抽球;若白球被抽出,把它放回盒子,重新隨機抽出 1 球,服從相同原則,若黑球被抽出,停止抽球;若白球被抽出,把它放回盒子,重新隨機抽出 1 球,如此類推。問抽球次數的期望值(expected number of drawings)是多少?

M1 同學立即得出 \frac{1}{1/3}=3

推論如下:

P(1 次) = \frac{1}{3}
P(2 次) = \frac{2}{3}\frac{1}{3}
P(3 次) = \frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{1}{3}=(\frac{2}{3})^2\frac{1}{3}
P(4 次) = \frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{1}{3}=(\frac{2}{3})^3\frac{1}{3}
….

所以期望次數是

E=1\times \frac{1}{3}+2\times (\frac{2}{3})\frac{1}{3} + 3\times (\frac{2}{3})^2\frac{1}{3} + 4\times (\frac{2}{3})^3\frac{1}{3} + \dots

為方便,設 p=\frac{1}{3}, q=\frac{2}{3},即

E=p+2qp+3q^2p+4q^3p+\dots=p(1+2q+3q^2+4q^3+\dots)

好了,AGS 出現了:1,2q,3q^2,4q^3,\dots,設

S=1+2q+3q^2+4q^3+\dots ………………….. (1)

之後就是推導 G.S. sum 的技巧:乘以所謂公比(common ratio):

qS=q+2q^2+3q^3+4q^4+\dots ………………….. (2)

(1) – (2) 得

(1-q)S=1+q+q^2+q^3+...=\frac{1}{1-q}

於是

E=pS=(1-q)S=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{p}=\frac{1}{1/3}=3

我們也可以求導法找

S=1+2q+3q^2+4q^3+\dots

只要考慮

q+q^2+q^3+q^4+\dots = \frac{q}{1-q}

\Rightarrow \frac{d}{dq}(q+q^2+q^3+q^4+\dots )= \frac{d}{dq}\frac{q}{1-q}

\Rightarrow 1+2q+3q^2+4q^3+\dots = \frac{(1-q)-q(-q)}{(1-q)^2}=\frac{1}{(1-q)^2}

完。

返回統測那題,

E

=ab+(a+d)br+(a+2d)br^2+(a+3d)br^3+\dots +(a+(n-1)d)br^{n-1}

=ab(1+r+r^2+\dots +r^{n-1})+dbr(1+2r+3r^2+\dots+(n-1)r^{n-2})

考慮

S=1+2r+3r^2+\dots+(n-1)r^{n-2}

之後,乘以公比 r ,再相減得

S=\frac{1-nr^{n-1}+(n-1)r^n}{(1-r)^2}

從而可求 E,從略。

用求導法解更方便,見下

r+r^2+r^3+\dots+r^{n-1}=\frac{r(1-r^{n-1})}{1-r}

\Rightarrow \frac{d}{dr}(r+r^2+r^3+\dots+r^{n-1}) = \frac{d}{dr}(\frac{r(1-r^{n-1})}{1-r})

\Rightarrow 1+2r+3r^2+\dots+(n-1)r^{n-2} = \frac{1-nr^{n-1}+(n-1)r^n}{(1-r)^2}

S=\frac{1-nr^{n-1}+(n-1)r^n}{(1-r)^2}


(圖:授課員在學校生活(好似係))

把諸如以下常見問題

「設某年頭存入銀行本金 a 元,年利率 r%,複利息以年計,且每年年頭存入 c 元。」

抽象化,也可玩玩代數,見下:

Let {a_n} be a sequence defined as

a_n=\left \{ \begin{array}{ll} a \hspace{24 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n = 0\\ba_{n-1}+c \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n \ge 1\end{array}\right.

where b = 1+r% \ne 1.

Derive the formula of a_n in terms of a,b,c,n.

(這種題型其實在 applied mathematics 的概率 recurrence relation 一課也頗常見。)解法見下:

a_n-k=b(a_{n-1}-k)

a_n=ba_{n-1}+(1-b)k

(1-b)k=c

k=\frac{c}{1-b}

於是

a_n=ba_{n-1}+c \Rightarrow (a_n-\frac{c}{1-b})=b(a_{n-1}-\frac{c}{1-b})

若設

d_n=a_n-\frac{c}{1-b}

d_n=bd_{n-1}

於是 {d_n} 是 geometric sequence,其 common ratio 是 b。立即推導出

d_n=b^n(a-\frac{c}{1-b})

a_n=b^n(a-\frac{c}{1-b}) + \frac{c}{1-b}=ab^n+\frac{c(b^n-1)}{b-1}

其實我不會擬這樣的考題,平日最多玩無聊 1 分 bonus 題,例如:

Let a_1,a_2,a_3,a_4 be non-zero real numbers such that

a_2^4+a_3^4+a_1^2a_3^2+a_2^2a_4^2=2a_2a_3(a_1a_2+a_3a_4).

Prove that a_1,a_2,a_3,a_4 is a geometric sequence.

同學,做數了~

4 則迴響 »

  1. 1 mark problem deserves a 1-line solution.
    (a_1a_3 – a_2^2)^2 + (a_2a_4 – a_3)^2 = 0.

    Hence, each term in the beacket is zero, and we are done.

    迴響 由 apook — 2017/11/15 @ 4:23 下午 | 回應

  2. 最後那 bonus 題,右邊好像有點不妥,是我做錯了嗎?
    感覺應該是 2*a_2*a_3*(a_1*a_2+a_3*a_4)

    迴響 由 Yutaka Juuichi — 2017/11/15 @ 5:32 下午 | 回應


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