Quod Erat Demonstrandum

2018/02/22

懷古-開方2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 6:08 下午
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公元前 8 世紀,古印度數學家 Baudhayana 給出以下結果:

\displaystyle \sqrt{2} \simeq 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}

左邊約為 1.41421356237…

右邊計出 1.41421568627…,可見準確度達小數點後 5 位。

古人如何得出結果?

有人以所謂幾何方法解之。考慮兩個面積皆為 1 的正方形:

想像把其中一個切出一些長方形,和另一正方形拼砌,希望做出面積為 2 的正方形。比如,先把右邊正方形平分 3 份:

把 2 個長方形拼砌如下:

然後剪個小正方形:

填補過去:

大家應看到左邊大正方的邊長是 \displaystyle 1+\frac{1}{3} 吧,但面積少於 2。要再用右邊餘下物料,拼砌出更大正方形。要如此,平分右邊 2 等份顯然不妥,試平分 4 份如下:

把 4 個長方形拼砌如下:

上圖面積為 2,底邊長 \displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4},但外觀尚欠右上角小小正方形,才成為大正方形。

可見,邊長 \displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4} 的正方形,其面積大於兩個單位正方形總和,即

\displaystyle (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4})^2 > 2\Rightarrow 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4} > \sqrt{2}

上圖,右上角小小正方形缺口邊長 \displaystyle \frac{1}{12},面積為 \displaystyle \frac{1}{144}

所以邊長為 \displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4} 的正方形,要減去面積 \displaystyle \frac{1}{144} 的東西,才能做出面積為 2 的正方形。

現考慮把兩個啡色窄長的長方形從邊長為 \displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4} 的正方形「剪出來」,見下

使面積剛好是 \displaystyle \frac{1}{144},故窄長長方形之闊度為

\displaystyle w=\frac{1}{144} \div (2\times (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}))=\frac{1}{3\times 4\times 34}

剪去窄長長方形後,餘下的正方形邊長為

\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}

面積當然是

\displaystyle (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34})^2

由之前構作過程知

\displaystyle (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34})^2=2+\frac{1}{144}-2\times (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4})w+w^2=2+w^2

\displaystyle (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34})^2 > 2

亦即

\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34} > \sqrt{2}

\displaystyle w^2 視為很小的話,就是 Baudhayana 的

\displaystyle \sqrt{2} \simeq 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}

但聞說以上不過是後人猜測,更接近真相的是利用疊代(iteration)。

如果 \displaystyle \sqrt{2}=x

那麼

\displaystyle x^2=2

\displaystyle \Rightarrow x=\frac{2}{x}

古人可能試試一個正數,比如 \displaystyle x_0

如果它符合

\displaystyle x_0=\frac{2}{x_0}

那麼 \displaystyle x_0 就是 \sqrt{2}

但如果

\displaystyle x_0 \neq \frac{2}{x_0}

則找 \displaystyle x_0\displaystyle \frac{2}{x_0} 的平均數:

\displaystyle x_1=\frac{1}{2}(x_0+\frac{2}{x_0})

看看 \displaystyle x_1 符合

\displaystyle x_1=\frac{2}{x_1} 否?

若否,取

\displaystyle x_2=\frac{1}{2}(x_1+\frac{2}{x_1})

一般地,得以下疊代公式

\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{2}{x_n})

構作出數列

\displaystyle x_0,x_1,x_2,\dots

以迫近 \displaystyle \sqrt{2}

(注:修應用數學的同學,相信認得上述不過是定點疊代的最簡單題目,也記得如何測試收斂性吧~)

由上述疊代公式,得

\displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{1}{2}(x_n+\frac{2}{x_n})-x_n=\frac{1}{2}(\frac{2}{x_n}-x_n)

取甚麼正數 \displaystyle x_0 作為第一個估計值?

上面圖像法初步,曾得出邊長 \displaystyle 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3},不妨取 \displaystyle x_0=\frac{4}{3}

於是

\displaystyle x_1-x_0=\frac{1}{2}(\frac{2}{4/3}-\frac{4}{3})=\frac{1}{3\times 4}

\displaystyle x_1=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}

再用疊代公式,代入 \displaystyle x_1=\frac{17}{12},得

\displaystyle x_2-x_1=\frac{1}{2}(\frac{2}{17/12}-\frac{17}{12})=-\frac{1}{3\times 4\times 34}

\displaystyle x_2=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}

看,很熟識的算式吧。若再進行下去,代入 \displaystyle x_2=\frac{577}{408},可得

\displaystyle x_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}-\frac{1}{3\times 4\times 34\times 1154}

即是計出

\displaystyle x_3=1.4142135623746899…

準確度已到小數點後 11 個位。

(有沒有發覺疊代公式右邊計出的結果形如 \displaystyle \frac{\pm 1}{n},這是必然的嗎?)

古文明除了印度,當然不可忘記巴比倫,(網上可以)找到很多巴比倫泥板,當中的名為 YBC 7289 的泥板,藏著 \displaystyle \sqrt{2} 的秘密:


(圖片來源:https://en.wikipedia.org/wiki/YBC_7289)

上面的楔形文字已翻譯成數字

1;24,51,10 和 ;42,25,35

再由當時使用的六十進制(sexagesimal system)把數字進一步翻譯成

\displaystyle 1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^2}

\displaystyle \frac{42}{60}+\frac{25}{60^2}+\frac{35}{60^2}

再按一按計算機,可怕地得出

1.41421296296

0.70710648148

原來它們分別是 \displaystyle \sqrt{2}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} 的近似值,且準確度分別達小數點後 5 及 6 個位!不要忘記,這些泥板約在公元前 1800 年至 1600 年被使用!古人是如何得出結果?是否也是用上文談的疊代公式?

我試用

\displaystyle x_0=1+\frac{24}{60}=\frac{7}{5}

開始,利用之前的疊代公式,得

\displaystyle x_1=1+\frac{24}{60}+\frac{1}{70}

\displaystyle x_2=1+\frac{24}{60}+\frac{1}{70}-\frac{1}{13860}

\displaystyle \frac{1}{70}\displaystyle \frac{1}{13860} 寫成 60 進制(如何?其實唔難。),得

\displaystyle \frac{1}{70}= \frac{51}{60^2}+\frac{25}{60^3}+\frac{42}{60^4}+\dots

\displaystyle \frac{1}{13860}= \frac{15}{60^3}+\frac{35}{60^4}+\dots

於是

\displaystyle x_2=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{25-15}{60^3}+\frac{42-35}{60^4}+\dots\simeq 1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}

正是泥板上顯示的結果!難道三千多年前的人已掌握這技術嗎?不知道。而泥板上的圖案大抵是個正方形及其對角線,而 \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} 也即是 \sqrt{2} 的一半,會否和半條對角線長度比例有關?上述結果相信在當時日常(比方說)工程上的使用,已是相當不錯吧。

比較「新」的發現應是泥板 P322 和三角函數有關,見

一場數學史爭論︰這塊古巴比倫泥板到底有何用?

有趣!

歷史被遺忘是可惜的,隨便貼首兒時經常聽的歌作結,人日快樂。

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