Quod Erat Demonstrandum

2018/03/05

度數弧度微積分

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:10 下午
Tags: , ,

(免插聲明:本篇頗無聊,高手見諒)

請問

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x at x=0^o

是多少?

M2 學生應知

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x

代入 x=0^o,得

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos 0^o=1

完。

但 \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x 是基於考慮 x 是以弧度(radian)量度下的產物,若題目的 x 是以度數(degree)量度如何?

試用圖像想想,求「\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x at x=0^o」就是求「y=\sin x 圖像於 x=0 處切線(tangent)的斜率」。

隨便用 desmos 繪畫 y=\sin x 的圖像:

上圖的 x 是以弧度量度,在 x=0 處的切線,目測似是斜角 45 度線,即斜率為 1 無誤。

然而當 x 是以度數量度,繪之:

看似直線,但當然不是。在 x=0 處的切線,鈄率比 1 小很多,圖中見,當 x=20y 值也未到 0.5;想像 x 去到「遙遠」的 90y 值才到達 1。

如此說,當x 是以度數量度,在 x=0^o 之處

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x\ne 1

那麼鈄率多大?告訴你,大約

0.017432921…

其實,由 day 1 開始學習微積分,老師已說:所有涉及三角函數的運算,變量定以弧度量度,否則導引出來的式子頗麻煩云云。有多麻煩?正是同學疑問。

根據中學教科書,\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x 這結果源自 \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1

又根據中學教科書, \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 這結果,源自考慮下圖中,\Delta ABC,扇形 ABC\Delta ABD 由小到大的面積關係

x 以弧度量度,扇形 ABC 的面積是 \displaystyle \frac{1}{2}\times 1^2\times x=\frac{x}{2}

於是

\displaystyle \frac{1}{2}\sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2}\tan x

\displaystyle 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}

由三文治原理得

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1

但若 x 是以度數量度,扇形 ABC 的面積是 \displaystyle \frac{x}{360}\times \pi\times 1^2=\frac{x\pi}{360}

於是

\displaystyle \frac{1}{2}\sin x < \frac{x\pi}{360} < \frac{1}{2}\tan x

\displaystyle \frac{180}{\pi} < \frac{x}{\sin x} < \frac{180}{\pi} \frac{1}{\cos x}

由三文治原理得

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{180}

試以 EXCEL 算之,見下:

為了表示 x 以度數量度,我們可以寫

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x^o}{x^o}

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^o}\frac{\sin x}{x}

甚或用

\displaystyle Sin(x) 代表輸入的 x 是以度數量度,比如

\displaystyle Sin(90)=\sin(\frac{\pi}{2}\quad rad)=1

於是

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^o}\frac{\sin x}{x}

\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{Sin(x)}{x}

\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(\frac{\pi}{180}x\quad rad)}{x}

\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(\frac{\pi}{180}x\quad rad)}{\frac{\pi}{180}x}\times \frac{\pi}{180}

\displaystyle =1\times \frac{\pi}{180}

\displaystyle =\frac{\pi}{180}

於是,當 x 以度數量度,求 \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x

\displaystyle \frac{d}{dx} Sin(x)

\displaystyle =\frac{d}{dx} \sin(\frac{\pi}{180}x)

\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}(\sin\frac{\pi}{180}(x+h)-\sin\frac{\pi}{180}x)

\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\sin(\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{180}(x+h-x))\cos(\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{180}(x+h+x))

\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\sin\frac{\pi}{180}(\frac{h}{2})\cos\frac{\pi}{180}(x+\frac{h}{2})

\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin\frac{\pi}{180}(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\cos\frac{\pi}{180}(x+\frac{h}{2})

\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{Sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\lim_{h\rightarrow 0}\cos\frac{\pi}{180}(x+\frac{h}{2})

\displaystyle =\frac{\pi}{180}\cdot \cos\frac{\pi}{180}x

\displaystyle =\frac{\pi}{180}Cos(x)

即是說,當 x 以度數量度,恆有

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\frac{\pi}{180}\cos x

於是,當 x=0^o,代入上式,得

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\frac{\pi}{180}\cos 0^o=\frac{\pi}{180}

用 chain rule 來推當然快些,曰

\displaystyle \frac{d}{dx} Sin(x)=\frac{d}{dx} \sin\frac{\pi}{180} x=\cos\frac{\pi}{180} x\cdot (\frac{\pi}{180} x)'=\frac{\pi}{180}\cos\frac{\pi}{180} x=\frac{\pi}{180}Cos(x)

進而

\displaystyle \frac{d^n}{dx^n} Sin(x)=(\frac{\pi}{180})^n Sin(90n+x)

進而求得其泰勒展式為

\displaystyle Sin(x)=\frac{\pi}{180}x-\frac{(\frac{\pi}{180}x)^3}{3!}+\frac{(\frac{\pi}{180}x)^5}{5!}-\dots

於是,比方說

\displaystyle \sin1^o=Sin(1)=\frac{\pi}{180}-\frac{(\frac{\pi}{180})^3}{3!}+\frac{(\frac{\pi}{180})^5}{5!}-\dots

諸如此類~

習題

(a) Is \displaystyle \frac{d}{dx}(x\sin x)|_{x=\frac{\pi}{6}}=\displaystyle \frac{d}{dx}(xSin x)|_{x=30^o} ?

(b) Is \displaystyle \frac{d}{dx}(x^2\tan x)|_{x=\frac{\pi}{4}}=\displaystyle \frac{d}{dx}(x^2Tan x)|_{x=45^o} ?

Also read

https://johnmayhk.wordpress.com/2010/02/27/circular-argument-on-sinx-over-x/

https://johnmayhk.wordpress.com/2010/11/25/radian/

https://johnmayhk.wordpress.com/2009/03/10/limit-of-tanx-over-x/

廣告

發表迴響 »

仍無迴響。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com 標誌

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 /  變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 /  變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 /  變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 /  變更 )

連結到 %s

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.

%d 位部落客按了讚: