Quod Erat Demonstrandum

2018/03/14

黃金比某級數

Filed under: Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:11 上午
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早前見某個和黃金比(Golden ratio)有關的級數(series):

\displaystyle \Phi=\frac{1}{\Phi}+\frac{1}{\Phi^2}+\frac{1}{\Phi^3}+\dots

其中

\displaystyle \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

乃黃金比也。

高中同學當然可以等比級數和(sum of an infinite geometric series)秒之,這裡介紹一個所謂無言證明。

如果 \Phi 是黃金比,即以下長方形

去掉正方形後,餘下的長方形和原先的長方形相似,即 AEFD ~ ADCB,見下

於是

\displaystyle \frac{\Phi-1}{1}=\frac{1}{\Phi}

\displaystyle \Phi-1=\frac{1}{\Phi} …………… (*)

故可把圖重畫成

由 (*),等號兩邊除以 \Phi,得

\displaystyle \frac{1}{\Phi}+\frac{1}{\Phi^2}=1 ……………… (**)

故可把圖畫成

之後繼續把圖形分割,瘋狂地運用 (**),考慮

\displaystyle \frac{1}{\Phi^2}

\displaystyle =\frac{1}{\Phi^2}(\frac{1}{\Phi}+\frac{1}{\Phi^2})

\displaystyle =\frac{1}{\Phi^3}+\frac{1}{\Phi^4}

\displaystyle =\frac{1}{\Phi^3}+\frac{1}{\Phi^4}(\frac{1}{\Phi}+\frac{1}{\Phi^2})

\displaystyle =\frac{1}{\Phi^3}+\frac{1}{\Phi^5}+\frac{1}{\Phi^6}

\displaystyle =\frac{1}{\Phi^3}+\frac{1}{\Phi^5}+\frac{1}{\Phi^6}(\frac{1}{\Phi}+\frac{1}{\Phi^2})

\displaystyle =\frac{1}{\Phi^3}+\frac{1}{\Phi^5}+\frac{1}{\Phi^7}+\dots

故可把圖畫成

好了,考慮所有長方形之面積(見下)

之和,就是長方形 ABCD 的總面積 \Phi,換言之,

\displaystyle \Phi=\frac{1}{\Phi}+\frac{1}{\Phi^2}+\frac{1}{\Phi^3}+\dots

趁今天是圓周率日 30 周年紀念

給條連繫圓周率和黃金比的式子作結:

\displaystyle \pi=\frac{5}{\Phi} \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\Phi}}} \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\Phi}}}} \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\Phi}}}}} \dots

有時間證證佢~

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