Quod Erat Demonstrandum

2018/03/21

某求導題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:29 下午
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早前中四測驗某題:

If \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1), find \displaystyle \frac{dy}{dx} at (1,-1).

建議答案如下:兩邊取平方

\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2

\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+y^3)=\frac{d}{dx}36(xy+1)^2

從而得

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{24xy^2+24y-x^2}{y^2-24x^2y-24x}

所以,

\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}=-1

但有學生給出以下解:

\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1)

\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dx}\sqrt{x^3+y^3}=\frac{d}{dx}6(xy+1)

\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x^3+y^3}}(3x^2+3y^2\frac{dy}{dx})=6(x\frac{dy}{dx}+y) ……………….. (*)

\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6y-\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}}{\frac{3y^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}-6x}

出現 \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^3+y^3}} 這項,代入 (1,-1) 時無定義(undefined),即

\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)} 無定義嗎?

事實上,當 (x,y)=(1,-1),(*) 應已不能出現。

現把 \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1) 的圖像畫出,看看究竟如何:

奇怪?好像有垂直漸近線?把圖放大:

再放大:

再放大:

原來並非垂直漸近線,且在 (1,-1) 處似乎只有左導數(left hand derivative),目測其值為 -1,而右邊「無線」,故右導數必不存在;在這意義下,在 (1,-1) 處,\frac{dy}{dx} 不存在。(已不乎隱函數定理的條件連續可微了)但軟件只是輔助,真相如何?

粗糙地分析一下,式子

\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1)

左邊的開方根,代表左邊必然非負,故右邊也非負,即

xy+1 \ge 0 \Rightarrow xy \ge -1

另外,開方根內的 x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) 也要非負,即

x+y \ge 0  (why?)

於是曲線只能存在於以下綠色範圍:

(Fig. A)

如果把式子兩邊取平方,得

\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2

已非原來式子,因為它包含了以下額外添加的關係:

\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=-6(xy+1)

(所以用取平方的方法要小心,有時須覆檢答案。)

現把 \displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2 的圖像畫出,見下

可見它補充了 (1,-1) 右邊條曲線,故在 (1,-1) 之處連續,且可計出 \displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}=-1

現在也把圖像 xy=-1x+y=0 一併畫出:

可見曲線有些部份(即 \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=-6(xy+1) 者)跌入「禁區」(即(Fig. A)的非綠色部份),故原題目的曲線(即 \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1) 者)只能在下圖所示的範圍內。

當然,有了上面圖像,一目了然;但如沒有圖的幫忙,我只能說下面粗糙的論述:

\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2(1,-1) 處正常地找到 \frac{dy}{dx}=-1,是負數,即在那個包含 (1,-1) 的局部範圍內,函數是嚴格下降的;故當 x 值由 1 輕微增加,y 值便由 -1 輕微下降;但 (1,-1) 已在「臨界邊」 xy=-1 上,如此,x 值大於 1,y 值小於 -1,便會跌入「禁區」,不容許。所以曲線在 (1,-1) 處不連續。也就是說 \displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1)\frac{dy}{dx}(1,-1) 處無定義;所以原題的建議答案是錯的,以後出題我也要小心。

習題

Prove that, if y=\sqrt{x^3}, \frac{dy}{dx} does not exist at x=0.

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