Quod Erat Demonstrandum

2018/06/10

tan(89.99 度)

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:19 下午
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那天觀課,同事教 trigonometric graphs。談到 tangent graph 在 90 度處斷開,著同學試 tan(89∘), tan(89.9∘), tan(89.99∘) 之類,可見結果愈來愈大,去到 90 就無限大云云。

N 日後,有學生問我,何解相鄰結果似乎有 10 倍變化?見下:

當時我只叫他自行證明,現略答如下。

修 M2 的同學知:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1

意思是當 x 值很小,\tan x 的值和 x 的值就會差不多(即 \tan x \simeq x);這裡 x 是以弧度(radian)量度。

於是

\tan(89.9\dots 9^o)  (小數點後 n 個 9)

=\displaystyle \tan(90^o-\frac{1^o}{10^n})

=\displaystyle \frac{1}{\tan \frac{1^o}{10^n}}

=\displaystyle \frac{1}{\tan \frac{\pi}{180}\frac{1}{10^n}}

\simeq \displaystyle \frac{1}{\frac{\pi}{180}\frac{1}{10^n}}  (這裡視 \displaystyle \frac{\pi}{180}\frac{1}{10^n} 的值很小)

= \displaystyle \frac{180}{\pi}\times 10^n

\simeq 57.29577951 \times 10^n

同學,看到那 10 倍關係嗎?

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