Quod Erat Demonstrandum

2018/07/18

畫 y=x^(1/n)

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:57 下午
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不用計算機,如何比較

\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}

何值為大?

其中一個方法是考慮 y=\sqrt[3]{x} 的圖像,見下

修 M1, M2 的同學,不用繪圖軟件,也知 y=\sqrt[3]{x} 的圖像大約何樣,

易知 y'=\frac{1}{3x^{2/3}} > 0 for all x

故圖像 strictly increasing(嚴格遞增);

易知 y''=-\frac{2}{9x^{5/3}} < 0

故圖像在 x > 0 處是 strictly concave downward 的,

所以,考慮固定的 \Delta x,當 x (> 0) 值嚴格遞增,

對應 x-值區間 (x,x+\Delta x) 的 y-值區間 (y,y+\Delta y)

當中的 \Delta y 的值便會嚴格下降。

特別地,考慮 \Delta x=1,而 x 值由 2 上升到 3;可得

\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}

習題:
(a) 不用圖像,試用代數證明上式。
(b) 由開 3 次根推廣至開 n 次根的情況。
#玩玩系列
#高中

以下有關繪圖軟件的疑問。

畫諸如 y=\sqrt[3]{x} 的圖像,我是輸入 y=x^(1/3) 的;之後試畫 y=x^{1/1.58} 的圖像,

Geogebra

Desmos

即 Desmos 容許 domain 包括 x < 0

比如繪 y=x^{1/1.62},domain 也包括 x < 0,見下:

有時,domain 卻不包括 x < 0;例如緒 y=x^{1/1.6},見下

估計因為

\frac{1}{1.58}=\frac{50}{79}

\frac{1}{1.62}=\frac{50}{81}

分母皆為奇數,即負數開 79 次方;開 81 次方等是容許;而

\frac{1}{1.6}=\frac{5}{8}

分母皆為偶數,即負數開 8 次方等等是不容許。

但這只是個人猜想,當我考慮

\frac{1}{1.59}=\frac{100}{159}

分母是奇數,可是其圖像卻是

猜想幻滅。何因?

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3 則迴響 »

  1. I think it is the default setting and how the default defines, for a<0, do we have: a^(m/n)=?=((sqrt n times of a))^m=?=(sqrt n times of (a^m)) ???

    迴響 由 Simon YAU — 2018/08/04 @ 7:37 下午 | 回應

  2. Check check the definition for, a<0, (a)^(t), where t can be irrational or rational and where the number is undefined. We do not have the power to define, only mathematicians can say it.

    迴響 由 Simon YAU — 2018/08/04 @ 7:50 下午 | 回應

  3. I check that something about multivalued, not one to one should be the answer. Look forward to hearing your opinions.

    迴響 由 Simon YAU — 2018/08/04 @ 8:00 下午 | 回應


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