Quod Erat Demonstrandum

2018/09/16

長周素

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 7:20 下午
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觀察一下:

\frac{1}{7}=0.\overline{142857} ,故循環周期(decimal period)為 6。

\frac{1}{17}=0.\overline{088235294117647} ,循環周期為 16。

\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421},循環周期為 18。

對於所有質數 p\frac{1}{p} 的循環周期都是 p-1 嗎?不是,例如 \frac{1}{11} 是 2。

有「\frac{1}{p} 的循環周期是 p-1」這性質的質數 p 稱為 long period primes,見以下連結:

http://oeis.org/A006883

比方說,以除法算法計 \frac{1}{7},若不理會小數點,不過是以下程序:

當中圈著的數字,其實是 10^n 除以 7 的餘數,以同餘方式,依次序表達如下:

10^1\equiv 3 (mod 7)
10^2\equiv 2 (mod 7)
10^3\equiv 6 (mod 7)
10^4\equiv 4 (mod 7)
10^5\equiv 5 (mod 7)
10^6\equiv 1 (mod 7)

可見餘數包括所有小於 7 且和 7 互素的正整數 {1,2,3,4,5,6},換言之,10 是 7 的原根(10 is a primitive root modulo 7)。

至於 11,由費馬小定理知 10^{10}\equiv 1 (mod 11),然而 10 不是 11 的原根,因為

10^1\equiv 10 (mod 11)
10^2\equiv 1 (mod 11)

可見餘數只包括 10 和 1,沒有其他 {2,3,4,5,6,7,8,9},\frac{1}{11} 循環周期只是 2。

聞 2017 也是個 long period prime,同學有興趣檢查一下嗎?

存在無限個 long period primes 嗎?要高手答了。

習題(初中)

小明說找到正整數 n,使 \frac{1}{n} 的循環周期為 n+1。你同意嗎?

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