Quod Erat Demonstrandum

2018/11/20

費氏講

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 6:36 下午
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N 年前往中一班代堂,必談「64 = 65」謎題:


(圖片來源:https://i.stack.imgur.com/fWdMd.jpg)

對以上現象,小朋友給了不少有創意但錯誤的解釋,如「冷縮熱漲」。

所謂面積為 65 的長方形,在對角線處其實有個狹長的空心平行四邊形,其面積為 1 個單位,故 64 = 65 – 1 無誤。

面積只有 1 個單位的空心平行四邊形被拉得很長,難以察覺,便出現了「64 = 65」的假象。

如果不用(3,5,8)而是用(1,2,3)為有關邊長,該空心平行四邊形就較清楚題示,見下:


(圖片來源:https://i.stack.imgur.com/nWWOQ.png)

一般地考慮邊長為(a,b,c),即

設中空平行四邊形面積為 1 個單位,於是

(a+b)c+1=b(b+c)

\Rightarrow b^2=ac+1 …………………………. (*)

甚麼正整數數列 (a,b,c) 滿足 (*)?

除了「64 = 65」謎題的 (3,5,8) ,還有之後的例子(1,2,3);當然還有無限多例子。

從(1,2,3)和(3,5,8),不難想到費波那契數列(Fibonacci sequence):

F_1=1
F_2=1
F_3=F_2+F_1=2
F_4=F_3+F_2=3
F_5=F_4+F_3=5
F_6=F_5+F_4=8

… …

檢查一下:

可見不是所有費氏數列組成的(a,b,c)都滿足 (*),比如(2,3,5),相關圖像見下:

可見,兩個紅色三角形重疊出那狹長的平行四邊形。

把上表改動如下:

這樣便自然地歸納出 1680 年發現的卡西尼公式(Cassini’s identity)

F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^2=(-1)^n

修 M2 的同學可以數學歸納法(mathematical induction)去確認上式,又或透過行列式(determinant)得出如下:

\left(\begin{array}{rcl}F_{n-1} &F_n \\F_n &F_{n+1} \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}0 &1 \\1 &1 \\\end{array}\right)^n

兩邊取行列式:

F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^2=\det\left(\begin{array}{rcl}F_{n-1} &F_n \\F_n &F_{n+1} \\\end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{rcl}0 &1 \\1 &1 \\\end{array}\right)^n=(\det\left(\begin{array}{rcl}0 &1 \\1 &1 \\\end{array}\right))^n=(-1)^n

有關費波那契數列的特性繁多,早前見有人貼了下式,頗欣賞但不懂如何得之:

\cot^{-1}F_{2n-2}=\cot^{-1}F_{2n-1}+\cot^{-1}F_{2n}

其實不過是道中四 M2 習題,解之曰:

\alpha=\cot^{-1}F_{2n-2}
\beta=\cot^{-1}F_{2n-1}
\gamma=\cot^{-1}F_{2n}

\cot\alpha=F_{2n-2}
\cot\beta=F_{2n-1}
\cot\gamma=F_{2n}

或曰

\tan\alpha=1/F_{2n-2}
\tan\beta=1/F_{2n-1}
\tan\gamma=1/F_{2n}

考慮

\displaystyle \tan(\beta+\gamma)=\frac{\tan\beta+\tan\gamma}{1-\tan\beta\tan\gamma}

\displaystyle =\frac{1/F_{2n-1}+1/F_{2n}}{1-1/(F_{2n-1}F_{2n})}

\displaystyle =\frac{F_{2n-1}+F_{2n}}{F_{2n-1}F_{2n}-1}

\displaystyle =\frac{F_{2n-1}+F_{2n}}{F_{2n-1}(F_{2n-1}+F_{2n-2})-1}

\displaystyle =\frac{F_{2n-1}+F_{2n}}{F_{2n-1}^2+F_{2n-1}F_{2n-2}-1}

\displaystyle =\frac{F_{2n-1}+F_{2n}}{F_{2n-2}F_{2n}+F_{2n-1}F_{2n-2}}  (這裡用了卡西尼公式)

\displaystyle =\frac{1}{F_{2n-2}}

\displaystyle =\tan\alpha

於是

\alpha=\beta+\gamma

\cot^{-1}F_{2n-2}=\cot^{-1}F_{2n-1}+\cot^{-1}F_{2n}

有了上式,可以弄一弄 \pi 的表達式,見下

\cot^{-1}F_2=\cot^{-1}F_3+\cot^{-1}F_4=\cot^{-1}F_3+\cot^{-1}F_5+\cot^{-1}F_6=\cot^{-1}F_3+\cot^{-1}F_5+\cot^{-1}F_7+\dots

\displaystyle \frac{4}{\pi}=\cot^{-1}2+\cot^{-1}5+\cot^{-1}13+\cot^{-1}34+\dots

又或者用 \tan^{-1} 來寫,即

\displaystyle \pi=4\sum^\infty_{i=1}\tan^{-1}\frac{1}{F_{2i+1}}

當然,人們一早找了更多有趣的結果,比如:

\displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{xF_{2n-1}+F_{2n}}=\tan^{-1}\frac{1}{xF_{2n-1}+F_{2n+1}}+\tan^{-1}\frac{1}{x^2F_{2n-1}+xF_{2n+2}+F_{2n+2}}

想看更多?找來一篇,慢用:

http://www.m-hikari.com/ijcms/ijcms-2015/5-8-2015/p/frontczakIJCMS5-8-2015.pdf

後記

如果謎題沒有問題,即下圖中,左邊四塊真能正當地拼砌右邊長方形:

b^2=ac

高中同學,認出這關係嗎?就是說:(a,b,c)是等比數列(geometric sequence)

若保留上圖左邊為正方形,即 c=a+b,則 a,b,c 不能全是整數,因為這情況下

\displaystyle \frac{b}{a} 必然是黃金比(golden ratio),(中四同學試證之)這也和費氏數到有著連繫,即 \displaystyle \frac{b}{a}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}

還有更多有關費氏數列的東西,但此刻費事講了。

Also read

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/05/15/fibonacci-nim/

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/05/10/fibonacci-clock/

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/12/31/sum-of-fibonacci-numbers/

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