Quod Erat Demonstrandum

2017/11/08

作正五邊形

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 10:49 上午
Tags: ,

中二課本仍有教授(在定圓上)構作正五邊形的方法,見下

網友問原理為何? (more…)

廣告

2017/08/15

畢氏定理日

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:04 上午

15/8/17,畢氏定理日,讓我紀念。錯過了之前的 17/8/15,下次是 16/12/20 吧。

利用邊長為 3-4-5 的直角三角形及其內圓,可得美麗結果:

\tan^{-1}1+\tan^{-1}2+\tan^{-1}3=180^0

無言如下
(more…)

2017/06/29

4

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:03 下午

剛才偷偷在教員室想出以下式子:

777=\sqrt{2}\displaystyle \sum_{k=1}^{777}k^2\cos(45^o+(k-2)90^o)

如何得?

中二同學,首先簡化下式看看:

k^2-(k+1)^2-(k+2)^2+(k+3)^2

如果懶唔想做,可以: (more…)

2017/06/10

正多邊形方程

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:24 下午
Tags: ,

初中學過極座標(polar coordinates),但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程,到高中,課程也只利用 xy-plane,諸如方程 y=x^2 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程,只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標,即是說,任何一點 P,其座標為 P(r,\theta),其中 rP 和極 O 的距離,\theta 就是 P 的旋轉角(angle of rotation),亦即由所謂正 x-軸量度至 OP 的角度(逆時針者取正,順時針取負)。

所謂利用極座標系統描述圖像方程,即是說,設圖形上任意一點為 P(r,\theta),若找出關係式 r=r(\theta),則該圖像之方程就是 r=r(\theta)

利用極座標系統描述圖像方程,方程有時是很簡潔的。以下看到,利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像:

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示,單位圓外接正 n 邊形的方程是 (more…)

2017/05/27

帕斯卡三角形某結果

Filed under: Fun,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:56 上午
Tags:

帕斯卡三角形(Pascal’s triangle),好玩。這次玩乘。

去片

證明 (more…)

2016/08/08

點解2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 11:12 下午
Tags: , ,

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=?

簡單

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2

是也。

如果變成中四 M2 的 MI 習題:

利用數學歸納法證明,對於任何正整數 n

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=n^2

不知同學會否覺得不太容易? (more…)

2016/07/18

舊物

Filed under: Fun,School Activities — johnmayhk @ 11:23 上午
Tags:

(假)暑假開始,點列一下大考期間及之後,中學授課員的一般工作:

1.改卷
2.對卷
3.盤點記錄科組及非教務組物資
4.入分
5.出初步成績單
6.開升班會
7.中一至中五試後活動(校內及校外,兩星期)
8.科組及非教學各組檢討會財政預算來年計劃
9.輸入評語及其他
10.出成績表
11.通知家長留班或轉校
12.小六升中叩門位
13.中一註冊
14.中一迎新
15.中一學科測驗(HKAT)
16.最後一次職員會
17.中六放榜講座(一個為學生,一個為家長)
18.中六放榜前BBQ
19.中六放榜
20.暑假正式開始 (more…)

2016/06/16

平方和和積

Filed under: Fun — johnmayhk @ 2:58 下午
Tags:

n_1,n_2,n_3,\dots

為正整數,則

(1) n_1^2+n_2^2=n_1n_2 是不可能的。
(2) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3,則 n_1n_2n_3 可被 27 整除。 (more…)

2016/06/14

正七邊形

Filed under: Fun — johnmayhk @ 12:07 上午
Tags: , ,

如無必要都唔想拍片,超累的說:

(習題)從片中某些結果不難推出以下命題: (more…)

2016/06/09

正三角

Filed under: Fun — johnmayhk @ 11:34 上午
Tags:

答網友

其他方法,見: (more…)

2016/05/15

和費波那契數列有關的一個遊戲

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:39 上午

講開費波那契數列,多談一例。

上次介紹過 nim 這個古舊遊戲,見下:

https://johnmayhk.wordpress.com/2013/06/18/just-a-game/

介紹返,手機 apps 免費玩,搜尋 "nim" 便可(但現世云云手機遊戲,還有小朋友會下載這個嗎?):

johnmayhk-nim-apps

今次把這個 2 人遊戲,略改規則如下:開始時有 n 個包子。第一個玩家至少取一個,但不能全取。之後輪流取包,規則是至少取一個包,也可取任何數目的包,只要取包數目不超過對手之前取包數目的兩倍。取最後一個包者勝。

比如,n = 15,甲乙對賽,甲先取。

甲取 2 個(餘 13 個)
乙不能取多於 4 個,乙取 4 個(餘 9 個)
甲不能取多於 8 個,甲取 1 個(餘 8 個)
乙不能取多於 2 個,乙取 1 個(餘 7 個)
甲不能取多於 2 個,甲取 2 個(餘 5 個)
乙不能取多於 4 個,乙取 3 個(餘 2 個)
甲不能取多於 6 個,甲取 2 個(餘 0 個)
甲勝。

原來如果 n 不是費波那契數,甲有必勝法;但如果 n 是費波那契數,則乙有必勝法。 (more…)

2016/05/11

[ViuTV] 《走進東。西教室》

Filed under: Fun,Report — johnmayhk @ 9:13 下午
Tags:

來自 ViuTV 節目《經緯線》有關教育的紀錄短片,追踪來自香港、芬蘭和上海的三個小學生,反映三地不同的教育制度及價值觀。誠意製作,值得推介:

《走進東。西教室》之《上學為甚麼?》
http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte2jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-seung-hok-wai-sam-moh

《走進東。西教室》之《芬蘭 學習快樂》
http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte3jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-fan-laan–hok-jaap-faai-lok

《走進東。西教室》之《沒有功課時》
http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte4jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-moot-yau-gung-foh-si

2016/05/10

費波那契鐘

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:56 下午
Tags:

已在 draft 一年,清理一下,這是有關費波那契鐘(The Fibonacci Clock)的介紹:

鐘面分別由邊長為 1,1,2,3,5 個單位的正方形組成,那些數字,一望而知是費波那契數列。費波那契鐘的設計是每 5 分鐘報報時,閱讀時間的方法可見下例:

fc01

紅色代表小時,綠色代表分鐘,藍色代表小時和分鐘都要算。

左圖:紅色有邊長為 1 及 5 的正方形,藍色有代表 3 的正方形,故此小時數是 1+5+3=9;綠色有代表 2 的正方形,故此分鐘數是 (2+3)x5=25;所以時間是 9:25。
中圖:紅色 0 個,藍色有代表 5 的正方形,故此小時數是 0+5=5;綠色有分別代表 1,3 的正方形,故此分鐘數是 (1+3+5)x5=45;所以時間是 5:45。
右圖:紅色有分別代表 2,5 的正方形,故此小時數是 2+5=7;綠色 0 個,故此分鐘數是 0;所以時間是 7:00。

費波那契鐘已是推出市場的產品,以下連結有詳細報導(有片): (more…)

2016/05/08

畢氏定理(無言)

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 9:08 下午

不知是否很多家長也不希望兒女看文字少圖片多的書本?但介紹返,有關 Proofs without words 的書是,雖然多圖少字,但其實很益智的。以下是來自 Leonardo da Vinci 的關於畢氏定理的無言證明,一圖證完,不需文字,盡在不言:

johnmayhk-proof-without-words-Pythagoras-1

看不明白可參考:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/johnmayhk/johnmayhk-proof-without-words-Pythagoras.html

這不過是云云眾多證明中的一個,同學有興趣可找更多看看~

2016/05/01

證 Cramer’s rule (無言)

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:58 下午
Tags: ,

來自 The Mathematics Initiative, Education Development Center 的關於 Cramer’s rule 的無言證明:

johnmayhk-cramer-rule-1
johnmayhk-cramer-rule-2

兩句:

1.相信為了簡潔,不繪出 y\overrightarrow{b}z\overrightarrow{c},但繪與不繪,無關宏旨。
2.上式 det 計算的是平行六面體體積,而上圖兩個平行六面體之體積明顯相同,故推得結果。

把線性方程組賦予這個圖像意義,美麗!

後一頁 »

在WordPress.com寫網誌.