Quod Erat Demonstrandum

2015/01/09

推特老題

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:26 下午
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早前在推特見:

johnmayhk-question-in-twitter

他們討論著,並表示不知道如何得出如此美妙式子。

如何美妙?修 M1,M2 的同學應該不難察覺,式子包含二項系數(binomial coefficients),

11
121
1331
14641

並且,把等號左邊的項加起來,得右邊單項式作分子云云。

但有修純數的人,相信很快察覺,那不過是一道有關部份分式(partial fractions)的基本題目(搖頭中)。Okay, (more…)

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2014/01/01

HT

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,HKALE — johnmayhk @ 12:27 上午
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以下題目也見過數次,現在才知是 1981 年比利時數學競賽的某題目:

不停擲一枚公平硬幣,問以下哪一事件出現的機會較大?

(a) THT 比 TTT 先出現;
(b) TTT 比 THT 先出現。

(T = tail,H = head)

比如

HHTHHHHTHTHHHTT… 就是 (a) 其中一種情況;
HTTHHHTTHHTTTHT… 就是 (b) 其中一種情況;

不知諸君會否認為 (a) 和 (b) 出現之機會均等?

非也, (more…)

2012/04/03

HKALE 2012 Pure Mathematics

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:53 下午

二零一二年四月二日,香港特區媒體的焦點,集中在「死亡之卷」首屆中學文憑試通識科(Liberal Studies)。但同一天,有一班第二次被稱為「末代」的中七考生,默默面對曾堪稱為全球數一數二困難的純數卷(Pure Mathematics)。難度近乎純數的數學課程,在可見將來,也不會在中學出現,為了歷史,留個記錄。

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因我於 2012-04-19 9:15 p.m. 收了警告電郵:

"We received a valid DMCA Notice (http://chillingeffects.org/dmca512/faq.cgi#QID130) for the following material found on your WordPress.com site:

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/04/03/hkale-pure-mathematics-2012/

If you do not have the legal rights to distribute the file/content/material, you are required to delete the post(s) or content(s) and let us know when this has been done. The removal will then be verified, and the site will be returned to normal.

Republishing the content without permission of its copyright holder – or continuing to publish material that results in DMCA notices – will result in a permanent blog suspension. Publishing such material is a direct violation of our Terms of Service (http://wordpress.com/tos/), which you agreed to upon registration.

If you wish to formally challenge this DMCA notice, we will be happy to provide you with the details you need."

故已刪除當中的 2012 pure math past papers,如閣下希望閱讀那些題目,作自學或學教之用,可直接電郵我:johnmayhk@yahoo.com.hk

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2012/03/05

無聊講數:斯托爾茨定理

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:33 下午

因希望寫到中學生明白,以下一篇某些陳述比較古怪,高手見諒。

1. 數列收斂之定義

對數列 \{a_n\},所謂 \{a_n\} 收斂於 a,即

\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a

粗略的說法是

a_na 的距離,可以「要多近,就有多近」。

較精確的說法是 (more…)

2012/02/26

答網友:y=z^2

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:29 下午
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以下是網友在 2011-03-06 的提問:

By considering

(1+z)^8+(1-z)^8=0

show that

\displaystyle\sum_{k=0}^7 \tan^2\frac{(2k+1)\pi}{16}=56

不難 (more…)

2012/01/07

某題-級數

Filed under: Fun,HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:04 上午

以下是數列 {a_n}

1 , 12 , 123 , 1234 , … , 12345678910 , 1234567891011 , …

以下是數列 {b_n}(把 a_n「倒寫」)

1 , 21 , 321 , 4321 , … , 10987654321 , 1110987654321 , …

以下是數列 {\frac{a_n}{b_n}},即

1,\frac{12}{21},\frac{123}{321},\frac{1234}{4321},\dots

問:把上述數列求和 (more…)

2012/01/05

斐波那契數與二項係數

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 9:51 上午

除了二項式定理(binomial theorem)

(a+b)^n=\displaystyle\sum_{r=0}^nC^n_ra^{(n-r)}b^{r}

和萊布尼茲微分法則(Leibniz’s rule)

(fg)^{(n)}=\displaystyle\sum_{r=0}^nC^n_rf^{(n-r)}g^{(r)}

斐波那契數 (more…)

2012/01/04

某題-多項式

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:08 上午

引理

考慮多項式 p(x) ,如果

p(x)=p(x-1) for all x \in \mathbb{R}

則 p(x) 其實是常數。

如何證 (more…)

2011/10/18

Chain rule

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 4:29 上午
Tags: ,

早前,中七的 Thomas 問:「Chain rule 個 proof 錯咩?有冇 counter-example?」

先把教科書的東西記下:

以下是記在教科書內 Chain rule 的證明: (more…)

2011/10/14

旋轉體體積

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 7:47 上午

星期三走進中七班房,同學正透過眾人趨之若鶩的高科技,聆聽著曾特首宣讀他任內最後一份施政報告。正如數學堂的重點是教授英語(esp. during MOI inspection),純數堂的重點當然是了解時事。同學如此專注將來命運,「講數」打擾他們委實有點不好意思。碰巧當時談 volume of revolution,對他們來說實太輕易,所以我很「吹水」地提問:

考慮橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(其中 a > 0, b> 0)繞 x-axis 旋轉 360 度,得的旋轉體 Ellipsoid 的體積 V_x 及繞 y-axis 旋轉 360 度,而得的旋轉體體積 V_y… …

說話未完同學即說:「唔係一樣咩?」正! (more…)

2011/10/10

錯在哪裡之 0 = 1

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:29 上午
Tags:

Old stuff…

\int \frac{\cos \theta d\theta}{\sin \theta}

=\int \frac{d\sin \theta}{\sin \theta} (more…)

2011/10/04

純數堂無聊一記

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:23 下午

今天在堂上做下題的 part (a)(ii) 時,

因寫

|\int_0^x(x-t)^mf^{(m+1)}(t)dt| \le\int_0^x|(x-t)^mf^{(m+1)}(t)|dt (\forall x \in \mathbb{R})

是錯的 (more…)

2011/09/23

second fundamental theorem of calculus

Filed under: HKALE,Pure Mathematics,Teaching — johnmayhk @ 11:42 上午

教到 second fundamental theorem of calculus:

\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)

(其中 f 在開區間 I 內連續,a\in I 是常數。)

時,同學或有諸如以下的疑惑:

\frac{d}{dx}\int_0^x(x-t)^2dt 是甚麼? (more…)

2011/08/19

某數算題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,NSS,Teaching — johnmayhk @ 6:34 下午

給學生 98 道「暑期」(注 1)概率題目,這是第 77 題:

If three tickets are chosen at random without replacement from a set of 6n tickets numbered respectively 1, 2,…, 6n, what is the probability that the sum of the numbers on the numbers on the chosen tickets is 6n?

現在講解一下。 (more…)

2011/08/17

還是數算

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,NSS,Teaching — johnmayhk @ 11:29 下午

暑假補課(注 1)時,學生問:

There are 10 empty boxes. 5 balls are going to put one by one into a randomly selected box. Find the probability that two of the boxes each contains 2 balls.

習題給的解是: (more…)

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