Quod Erat Demonstrandum

2017/03/19

盛水水深

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 12:43 下午
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常見初中數學題:

圓錐容器高 H 單位。容器內盛水,垂直倒置時水深 h 單位(Fig. 1),把其倒轉平放水平面後(Fig.2),求水深。

利用相似形體積比等於對應邊比之立方,不難得 k=\sqrt[3]{H^3-h^3},故水深為

(H-\sqrt[3]{H^3-h^3}) 單位。

早前同事出題:如果容器是橢圓體,同樣問題如何解決?

具體一點,參考下圖

容器形狀是橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。

容器內盛水,水深 h 單位(Fig. 3)把容器沿 O 轉 90 度(Fig.4)(注:其實是沿 z-軸),求水深。 (more…)

2014/05/20

兩個等差數列

Filed under: HKCEE,mathematics,NSS — johnmayhk @ 6:42 下午
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把一個等差數列(arithmetic sequence)「放」在另一個等差數列的題目也頗常見,例如:

johnmayhk-2as

第一行有 3 格。
之後,每行格數比之前多 2。
由第 3 行第 4 個格(左起數起),
放下某個等差數列(5,9,13,…)的首項。
問這個數列的第 2014 項,在第幾行,第幾格?

把問題一般化。

設每行格數為 U_n(more…)

2012/07/25

根中根

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 11:40 上午

易知

\sqrt{3+\sqrt{8}}=1+\sqrt{2}

\sqrt{3+\sqrt{7}}

卻「不能」如上例作「進一步運算」。

於是學生曾問,甚麼樣的無理數 (more…)

2011/10/03

無題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 7:39 下午

整理一下 draft 內的東西。

上年中五 M2 考試,隨便擬一道基本題:

Refer to the figure, the shaded region shown is bounded by the curves y=\sin (2x) and y=2\cos x. Find the area of the shaded region.

我期望 (more…)

2011/10/01

小心切線

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 9:02 上午
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一道題:

Find the equation of tangent to the curve

x^3+x^2y-2x^2+xy^2-2xy+x+y^3+y=0 ………. (*)

at (1,0).

機械式地,同學應可 (more…)

2011/05/24

中四數學教科書某習題

Filed under: HKCEE,NSS — johnmayhk @ 11:21 上午

以下是來自教科書某習題:

According to the graph above, find the values of a and k.

對此類問題,有些東西擬題者要注意。 (more…)

2010/07/22

暑期無聊閱讀

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,HKCEE — johnmayhk @ 9:02 上午
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學校圖書館檢來一本舊教科書,名為 Applied Numerical Analysis。

在解方程一章,以下例引起動機。

If you worked for a mining company the following might be a typical problem:

There are two intersecting mine shafts that meet at an angle of 123^o, as shown in the figure above. The straight shaft has a width of 7 feet, while the entrance shaft is 9 feet wide. What is the longest ladder that can be negotiate the turn? You can neglect the thickness of the ladder members, and assume it is not tipped as it is maneuvered around the corner. Your solution should provide for the general case in which the angle, A, is a variable, as well as the widths of the shafts. (more…)

2010/05/22

兩個無言證明

早前網友電郵分享了一個關於海倫公式(Heron’s formula)的「無言證明」(Proof without words)。無言證明者:一看就明,無須多言。

利用兩個引理,得出公式。

引理一K = rs (more…)

2010/04/15

無聊數學教學

Filed under: HKCEE,Junior Form Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 6:05 下午
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【其一】

提一提,以下兩題的答案是不同的。

1. If the equation k^2x^2 - (k+2)x + 1 = 0 has real roots and k is a constant. find the range of values of k.

2. If the quadratic equation k^2x^2 - (k+2)x + 1 = 0 has real roots and k is a constant. find the range of values of k. (more…)

2010/04/05

心在線上

L.U. 的一道舊題目,見下:

設三角形三邊之方程為

y = m_1x + \frac{a}{m_1}
y = m_2x + \frac{a}{m_2}
y = m_3x + \frac{a}{m_3}

證明該三角形的垂心(orthocentre)的 x-坐標是 -a

正如科主任說,這題不用半張 A4 紙就能解決,贊同!同學可自行試試。

但我想:為何人們可以創作結果如此「簡潔美麗」的一道題?

為了 (more…)

2010/03/28

學生問數

Filed under: HKCEE — johnmayhk @ 10:46 下午
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學生給我看某補習社授課員(或其助理)擬的某題,見下

今有 6 人,其中 2 個是男性,已知有一人將會變性。現選一人,求該人是男性的概率。 (more…)

2010/03/22

無聊:概率問法

Filed under: HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 9:45 上午
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檢查自己以前的卷,要「今日的我打倒昨日的我」:

某題某小部份:

“Box A contains 3 white balls and 1 black ball…a ball is randomly drawn from box A…find the proabability that a black ball is drawn…"

答案聲稱是

1/4

但,幸好已往學生沒有問:Box A 內還有沒有(起碼)其他顏色的球?

所以正確(經典概率的觀點下的)答案:最多 1/4。

如果題目寫清楚,諸如 “Box A contains exactly 4 balls including…" 或許好些。

2010/03/21

三角方程的通解

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE — johnmayhk @ 9:41 下午
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施同學剛致電問 1980 年會考附加數卷一第七題

Find the general solution of

\tan7\theta + \cot2\theta = 0 … … … … (*) (more…)

2010/03/04

三角習題的問法

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 12:43 下午
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那天,走進中四班房,二話不說在綠板寫下 EQ (i.e. Easy Question):

(1 + \tan 1^o) \times (1 + \tan 2^o) \times (1 + \tan 3^o) \times \dots \times (1 + \tan 44^o) = ?

數學高手當然不屑,但 (more…)

2010/03/03

Box-and-whisker diagram

以下「成個電阻咁樣」的公仔,可以是 box-and-whisker diagram。


(Fig. 1)

中五的同學不會陌生。圖中五個「折位」,由左至右分別代表:下限(lower limit),下四分位(lower quartile),中位數(median),上四分位(upper quartile)及上限(upper limit)。

前天放學,馬同學問:「box-and-whisker diagram 可否反映眾數(mode)?」

起初答:「不能吧?」

但, (more…)

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