Quod Erat Demonstrandum

2016/12/18

因式分解與畢氏數組

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 3:40 下午
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有些二次式 x^2+bx+c,可以(在整數環上)因式分解為

x^2+bx+c\equiv (x+p)(x+q)

但一般來說,以下四式

x^2+bx+c
x^2-bx+c
x^2+bx-c
x^2-bx-c

未必全部可以。

當然有些情況可以,例如

x^2+5x+6\equiv (x+2)(x+3)
x^2-5x+6\equiv (x-2)(x-3)
x^2+5x-6\equiv (x-1)(x+6)
x^2-5x-6\equiv (x+1)(x-6)

原來 (more…)

2016/10/30

old trick is so…

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:02 下午
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偶見網上某題:

\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}  (n\neq 0),求 nx^2-2kmx+n 的值。

偶見網民解之:

\displaystyle x=\frac{\sqrt{km+n}+\sqrt{km-n}}{\sqrt{km+n}-\sqrt{km-n}}

\Rightarrow \displaystyle \frac{x+1}{x-1}=\frac{\sqrt{km+n}}{\sqrt{km-n}} ………. (1) (more…)

2016/08/29

講兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:02 下午
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seize-the-moment-geek-green

對,seize the moment,抓緊此際講兩題。

(注:上圖式子是 k^{th} moment 的定義。特別地,當 k=2,它就是方差 variance。)

(一)

修物理的同學一定學過透鏡公式(lens formula)

\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v} (more…)

2016/05/15

和費波那契數列有關的一個遊戲

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:39 上午

講開費波那契數列,多談一例。

上次介紹過 nim 這個古舊遊戲,見下:

https://johnmayhk.wordpress.com/2013/06/18/just-a-game/

介紹返,手機 apps 免費玩,搜尋 "nim" 便可(但現世云云手機遊戲,還有小朋友會下載這個嗎?):

johnmayhk-nim-apps

今次把這個 2 人遊戲,略改規則如下:開始時有 n 個包子。第一個玩家至少取一個,但不能全取。之後輪流取包,規則是至少取一個包,也可取任何數目的包,只要取包數目不超過對手之前取包數目的兩倍。取最後一個包者勝。

比如,n = 15,甲乙對賽,甲先取。

甲取 2 個(餘 13 個)
乙不能取多於 4 個,乙取 4 個(餘 9 個)
甲不能取多於 8 個,甲取 1 個(餘 8 個)
乙不能取多於 2 個,乙取 1 個(餘 7 個)
甲不能取多於 2 個,甲取 2 個(餘 5 個)
乙不能取多於 4 個,乙取 3 個(餘 2 個)
甲不能取多於 6 個,甲取 2 個(餘 0 個)
甲勝。

原來如果 n 不是費波那契數,甲有必勝法;但如果 n 是費波那契數,則乙有必勝法。 (more…)

2016/05/10

費波那契鐘

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 11:56 下午
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已在 draft 一年,清理一下,這是有關費波那契鐘(The Fibonacci Clock)的介紹:

鐘面分別由邊長為 1,1,2,3,5 個單位的正方形組成,那些數字,一望而知是費波那契數列。費波那契鐘的設計是每 5 分鐘報報時,閱讀時間的方法可見下例:

fc01

紅色代表小時,綠色代表分鐘,藍色代表小時和分鐘都要算。

左圖:紅色有邊長為 1 及 5 的正方形,藍色有代表 3 的正方形,故此小時數是 1+5+3=9;綠色有代表 2 的正方形,故此分鐘數是 (2+3)x5=25;所以時間是 9:25。
中圖:紅色 0 個,藍色有代表 5 的正方形,故此小時數是 0+5=5;綠色有分別代表 1,3 的正方形,故此分鐘數是 (1+3+5)x5=45;所以時間是 5:45。
右圖:紅色有分別代表 2,5 的正方形,故此小時數是 2+5=7;綠色 0 個,故此分鐘數是 0;所以時間是 7:00。

費波那契鐘已是推出市場的產品,以下連結有詳細報導(有片): (more…)

2016/05/08

畢氏定理(無言)

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 9:08 下午

不知是否很多家長也不希望兒女看文字少圖片多的書本?但介紹返,有關 Proofs without words 的書是,雖然多圖少字,但其實很益智的。以下是來自 Leonardo da Vinci 的關於畢氏定理的無言證明,一圖證完,不需文字,盡在不言:

johnmayhk-proof-without-words-Pythagoras-1

看不明白可參考:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/johnmayhk/johnmayhk-proof-without-words-Pythagoras.html

這不過是云云眾多證明中的一個,同學有興趣可找更多看看~

2016/03/22

正三角頂點軌跡

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:45 下午

設定線 L,並不在其上的定點 O。

johnmayhk-equilateral-triangle1

在 L 上任意取點 Q,再畫出等邊三角形 OPQ。若 Q 在 L 上運行,問 P 點軌跡是甚麼?

點擊以下連結,猜猜看:

https://www.geogebra.org/material/simple/id/2967699

開估了: (more…)

2016/02/15

某 front view

Filed under: Junior Form Mathematics,mathematics — johnmayhk @ 2:38 下午

偶查草稿,見以下 2014-09-14 同工 send 來的圖,問:左上一題的 front view 為何?(點擊下圖可放大)

IMG-20140914-WA0002

這是初中數學,同學試試,解答如下: (more…)

2016/01/02

受保護的文章:to 3A

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 9:20 下午

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2015/11/12

無聊兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:39 下午
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1. 初中

參考下圖

johnmayhk-congruce-ass

已知:\angle C=\angle DAC=AD

問:\Delta ABC \cong \Delta ABD 嗎?

如果同學寫: (more…)

2015/09/30

% change

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:47 下午

在 CLP 我無聊地提出一個老問題:涉及負數的百分率改變

e.g.

Original value = -10
New value = -12
% change = ?

用教科書的「公式」 (more…)

2015/09/15

合24

Filed under: Fun,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 8:54 下午

學期初,同事已病,我代課。剛開學的中二學生,玩甚麼好?不如玩小學生也懂的遠古算術遊戲:合 24。

用一堂弄幾題所謂難題,去上堂,當中包括:

{3,3,7,7}

(即把上述數字各用一次,配以四則運算,得出答案 24。)

未玩過的可以試試。

遊戲樂趣在乎玩,若把遊戲用之以研究數學,對很多人來說實屬煮鶴焚琴,但對數學人卻是很自然:

比如,把 4 個數字的運算形式窮盡,得出所有可能解,那麼每次玩合 24,一檢查便知可否。

估計晨早有人做了吧?我現只舉一種運算形式,欲窮之。

上例:{3,3,7,7} 的解是 (more…)

2015/08/25

等邊三角形面積

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 4:03 下午
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教書初年遇此題:

johnmayhk-equil-01

等邊三角形 ABC 內有 P 點,其中 AP = 3 cm, BP = 5 cm, CP = 4 cm,求 ΔABC 面積。

其中一個解法, (more…)

2015/08/03

小學三角題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 4:34 下午
Tags: ,

Whatsapp 傳來同事阿仔的暑期功課:在釘板上圍出一個等邊三角形

johnmayhk-equilateral-triangle

我心諗:點解要咁樣玩啲小學生(及其家長)? (more…)

2015/07/17

某測量題

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 9:29 上午

一道普通初中題目:求邊長 10 cm 的正四面體(tetrahedron)之總表面面積

johnmayhk-geometry-3d

不難計出 (more…)

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