Quod Erat Demonstrandum

2017/04/22

逆矩陣

Filed under: mathematics,NSS,University Mathematics — johnmayhk @ 11:10 下午
Tags:

趁未失憶,匆匆寫下,高手見諒。

教科書稱:對於方陣(square matrix)A,若存在方陣 B 使

AB=BA=I

則稱 BA 的逆矩陣,記之曰 B=A^{-1}

做習題時,學生檢查了 AB=I 後,著他不用浪費時間再檢查 BA,說: (more…)

2017/04/21

三垂線定理

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 12:56 下午
Tags: ,

(一)前言

第一次聽「三垂線定理」,大抵是今年二月在大同的群組:

第二次聽「三垂線定理」是 (more…)

2017/04/17

人類總是

Filed under: mathematics — johnmayhk @ 6:12 下午

#無聊慎入

很久沒(被安排)教中一,查簿時看到中一學生犯了不少運算錯誤,比如

Solve \frac{1}{2}(x-1)=3.

學生給的第一步是

\frac{1}{2}x=3+1 (more…)

2017/03/20

無聊 bonus

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:55 上午
Tags:

隨便出所謂 bonus 題:

Solve the following equations for real x.

1. 1+9^x+25^x=3^x+5^x+15^x

2. 5^{x+1}+5(2^x)=3(10^x)+25^x+4^x+5

中四同學可以試試。

其實 (more…)

2016/12/11

小心出題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:18 下午
Tags: ,

早前給學生做某高中數學教科書的某習題:

因為課題涉及 cosine law,於是多數學生解 (a),曰:

AB=\sqrt{30^2+45^2-2(30)(45)\cos(60^o-40^o)}=19.7 m

但有少部份學生,以初中手法處理,考慮兩個直角三角形,得

AB=45\cos 40^o-30\cos 60^o=19.5 m

我用計算機檢查無誤,奇怪 (more…)

2016/08/08

點解2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 11:12 下午
Tags: , ,

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=?

簡單

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2

是也。

如果變成中四 M2 的 MI 習題:

利用數學歸納法證明,對於任何正整數 n

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=n^2

不知同學會否覺得不太容易? (more…)

2016/07/10

論商餘(三)

Filed under: mathematics,NSS,Teaching — johnmayhk @ 9:45 下午
Tags: , ,

一. 帶餘除法

(a) 多項式與數字

聞說以下是某校的試題:

一看,個心離一離。 (more…)

2016/06/06

和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
Tags: , ,

以積分求面積,基本概念也。

故不用真正去計算,只要明白

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx

代表四分一個單位圓的面積,立即知

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

改變積分上限為 t,M2 同學也懂計算

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx (其中 0 < t < 1

x=\sin\theta 又或用部分積分吧。但以圖示之,求上述積分,即是求下圖著色部分面積:

johnmayhk-intefrate-square-root-of-one-minus-x-square (more…)

2016/04/07

log y to the base a

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 4:11 下午

(想畫公仔,不喜勿插)

15,16 世紀某天。三條書局友,在表面寧靜的式子…

有暗湧,

有人唔得掂,好唔順氣…
(more…)

2016/02/15

某 front view

Filed under: Junior Form Mathematics,mathematics — johnmayhk @ 2:38 下午

偶查草稿,見以下 2014-09-14 同工 send 來的圖,問:左上一題的 front view 為何?(點擊下圖可放大)

IMG-20140914-WA0002

這是初中數學,同學試試,解答如下: (more…)

2015/07/07

某關於整除的題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:06 下午
Tags: ,

證明

對於任何正整數 n

(n^2)!

必能被

(n!)^{n+1}

整除。

解答
(more…)

2015/03/07

幾條正三角形

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 8:59 下午
Tags: ,

有時在街中,也傅來學生用 fb 或 whatsapp 問數如下,回家答之。可能有更好解法,但我只想到以下解,高手見諒。

從學生甲:

johnmayhk-geometry-jaco1

設 ABC 是正三角形,D 和 E 分別在 BC 和 CA 上。AD 交 BE 於 P。若 AE = DC 及 BQ \perp AD,求 BP : PQ。

(more…)

2015/02/17

數算球入盒

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:40 上午
Tags: ,

基本問題:把若干球放入若干盒子,共多少種放法?下表是總結:

johnmayhk-balls-and-boxes-01

以下 3 個情況屬 core mathematics 的範圍:

(一) (more…)

2015/02/01

黑白球

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 10:33 上午
Tags: , ,

同事擬某基本概率題:

In a game, Evan has to draw balls from a bag containing 2 black balls and 3 white balls one by one without replacement. If he gets two consecutive black balls, he wins; otherwise he loses. Find the probability that he wins.

標準答案如下:

P(wins)
=P(BB)+P(WBB)+P(WWBB)+P(WWWBB)
=\frac{2}{5}\frac{1}{4}+\frac{3}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{1}{3}
=\frac{2}{5}

有沒有留意,盒內共有 5 球,黑球 2 個,\frac{2}{5} 就是從盒取 1 球,得黑球之機會。

試用別的例:盒內共有 7 球,黑球 3 個,Evan 取勝之機會,按標準答案之做法:

\frac{3}{7}\frac{2}{6}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{3}{5}\frac{2}{4}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}+\frac{4}{7}\frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{1}{4}=\frac{3}{7}

看,又是等於在盒子取 1 球,得黑球之機會。

black white balls

這逼使我想:是否存在簡單方法處理原問題及其一般情況?結果如下。 (more…)

2015/01/23

某數算題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:34 下午
Tags: , ,

Just reply to a F.5C student on a basic core mathematics question (on P.5.38):

There are 8 outstanding students from junior forms and 9 outstanding students from senior forms in a school this year. 5 out of these 17 students are now selected for an overseas exchange programme. Find the number of combinations of selecting at least 1 student from junior forms and 1 from senior forms.

Here is the ‘so-called’ solution from a student:

_8C_1\times _9C_1\times _{15}C_3

as the student claimed, select 1 from junior, _8C_1 ways; select 1 from senior, _9C_1 ways; then select the remaining 3 students from the remaining 15 students, _{15}C_3 ways, hence, the total number of combination should be _8C_1\times _9C_1\times _{15}C_3, right?

Sorry, it is incorrect. (more…)

後一頁 »

在WordPress.com寫網誌.