Quod Erat Demonstrandum

2017/11/14

as gs

Filed under: Additional / Applied Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:29 上午
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同事擬 core mathematics 某統測題如下:

Derive the formula for the sum of first n terms of the following sequence in terms of a,b,d,r,n, where r \ne 1.

ab,(a+d)br,(a+2d)br^2,(a+3d)br^3,\dots

我班沒人得出答案。沒所謂,全卷 67 分,這必答題佔 6 分而已。

上述數列稱為 arithmetico-geometric sequence,我以前教 applied math 時就隨便稱它為 AGS。

在 applied math 的課程 (more…)

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2017/10/28

一題多解

Filed under: Junior Form Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:14 上午
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數學可以帶出其中一個教訓:解決問題的辦法並非單一。

(不過有多少學生解完題目,會如此神心尋求另外解法?面對極度規範化的考題,方法多數固定,對一些同學來說,莫說一題多解,更多時是找不到解法。)

例子一

不知初中同學你會有多少辦法處理下題:

證明:r^2=pq

方法一:相似三角 (more…)

2017/09/21

core math 某題:標準差

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 4:49 下午
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把某統計資料集合,比如

以點圖(Dot plot)表示如下:

我們可以找出這集的標準差(standard deviation),電腦代勞,見下:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5

好了,現有兩組資料,分別以紅藍兩種顏色表示如下:

問:兩組資料集的標準差相等嗎? (more…)

2017/08/12

重積求面積

Filed under: mathematics,NSS,University Mathematics — johnmayhk @ 6:10 下午
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1.某中四題:

求直線 x+y=1, x+y=5, x-2y=-2x-2y=4 圍出來的平行四邊形之面積。

可用 (more…)

2017/06/23

實數問題複數解決

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 3:43 下午
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幾個月前的中學數學科諮詢文件見 M1,M2 外的 Further Mathematics 內容,重遇會考附加數學一些內容:

運用當中一個特性 z\overline{z}=|z|^2,輕易得出下式:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

式子在說:平方和的積,仍是平方和。

現在的中學生,大部分不會知道甚麼是 (more…)

2017/06/21

兩題二次方程

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 6:28 下午
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1.

早前學生問了道不錯的題:

Refer to the figure below.

If \alpha and \beta are x-coordinates of P and Q respectively such that \alpha^2+\beta^2=13, find the value(s) of m.

這是基本題目,同學應會解之如下:

-x^2+3x-2=mx-8
x^2+(m-3)x-6=0 (more…)

2017/06/10

正多邊形方程

Filed under: Additional / Applied Mathematics,Fun,mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:24 下午
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初中學過極座標(polar coordinates),但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程,到高中,課程也只利用 xy-plane,諸如方程 y=x^2 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程,只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標,即是說,任何一點 P,其座標為 P(r,\theta),其中 rP 和極 O 的距離,\theta 就是 P 的旋轉角(angle of rotation),亦即由所謂正 x-軸量度至 OP 的角度(逆時針者取正,順時針取負)。

所謂利用極座標系統描述圖像方程,即是說,設圖形上任意一點為 P(r,\theta),若找出關係式 r=r(\theta),則該圖像之方程就是 r=r(\theta)

利用極座標系統描述圖像方程,方程有時是很簡潔的。以下看到,利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像:

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示,單位圓外接正 n 邊形的方程是 (more…)

2017/04/22

逆矩陣

Filed under: mathematics,NSS,University Mathematics — johnmayhk @ 11:10 下午
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趁未失憶,匆匆寫下,高手見諒。

教科書稱:對於方陣(square matrix)A,若存在方陣 B 使

AB=BA=I

則稱 BA 的逆矩陣,記之曰 B=A^{-1}

做習題時,學生檢查了 AB=I 後,著他不用浪費時間再檢查 BA,說: (more…)

2017/04/21

三垂線定理

Filed under: mathematics,NSS,Pure Mathematics,University Mathematics — johnmayhk @ 12:56 下午
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(一)前言

第一次聽「三垂線定理」,大抵是今年二月在大同的群組:

第二次聽「三垂線定理」是 (more…)

2017/04/17

人類總是

Filed under: mathematics — johnmayhk @ 6:12 下午

#無聊慎入

很久沒(被安排)教中一,查簿時看到中一學生犯了不少運算錯誤,比如

Solve \frac{1}{2}(x-1)=3.

學生給的第一步是

\frac{1}{2}x=3+1 (more…)

2017/03/20

無聊 bonus

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:55 上午
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隨便出所謂 bonus 題:

Solve the following equations for real x.

1. 1+9^x+25^x=3^x+5^x+15^x

2. 5^{x+1}+5(2^x)=3(10^x)+25^x+4^x+5

中四同學可以試試。

其實 (more…)

2016/12/11

小心出題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:18 下午
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早前給學生做某高中數學教科書的某習題:

因為課題涉及 cosine law,於是多數學生解 (a),曰:

AB=\sqrt{30^2+45^2-2(30)(45)\cos(60^o-40^o)}=19.7 m

但有少部份學生,以初中手法處理,考慮兩個直角三角形,得

AB=45\cos 40^o-30\cos 60^o=19.5 m

我用計算機檢查無誤,奇怪 (more…)

2016/08/08

點解2

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 11:12 下午
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1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=?

簡單

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2

是也。

如果變成中四 M2 的 MI 習題:

利用數學歸納法證明,對於任何正整數 n

1+2+3+\dots +(n-1)+n+(n-1)+\dots +3+2+1=n^2

不知同學會否覺得不太容易? (more…)

2016/07/10

論商餘(三)

Filed under: mathematics,NSS,Teaching — johnmayhk @ 9:45 下午
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一. 帶餘除法

(a) 多項式與數字

聞說以下是某校的試題:

一看,個心離一離。 (more…)

2016/06/06

和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
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以積分求面積,基本概念也。

故不用真正去計算,只要明白

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx

代表四分一個單位圓的面積,立即知

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

改變積分上限為 t,M2 同學也懂計算

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx (其中 0 < t < 1

x=\sin\theta 又或用部分積分吧。但以圖示之,求上述積分,即是求下圖著色部分面積:

johnmayhk-intefrate-square-root-of-one-minus-x-square (more…)

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