Quod Erat Demonstrandum

2017/03/20

無聊 bonus

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 9:55 上午
Tags:

隨便出所謂 bonus 題:

Solve the following equations for real x.

1. 1+9^x+25^x=3^x+5^x+15^x

2. 5^{x+1}+5(2^x)=3(10^x)+25^x+4^x+5

中四同學可以試試。

其實 (more…)

2017/03/19

盛水水深

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 12:43 下午
Tags:

常見初中數學題:

圓錐容器高 H 單位。容器內盛水,垂直倒置時水深 h 單位(Fig. 1),把其倒轉平放水平面後(Fig.2),求水深。

利用相似形體積比等於對應邊比之立方,不難得 k=\sqrt[3]{H^3-h^3},故水深為

(H-\sqrt[3]{H^3-h^3}) 單位。

早前同事出題:如果容器是橢圓體,同樣問題如何解決?

具體一點,參考下圖

容器形狀是橢圓 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。

容器內盛水,水深 h 單位(Fig. 3)把容器沿 O 轉 90 度(Fig.4)(注:其實是沿 z-軸),求水深。 (more…)

2017/03/17

不排在一起

Filed under: NSS — johnmayhk @ 1:58 下午
Tags:

講兩題。

1. m 男 n 女排 1 行

(a) 若女不排在一起,排列數是?

先放置 m 男,共 m! 種排列。

男旁留一空位放置女,共 (m+1) 空位。

情況 1: (more…)

2017/01/11

三次方程某解法

Filed under: NSS — johnmayhk @ 6:32 下午
Tags:

如何解三次方程(cubic equation)

x^3-26x-5=0 ?

這裡有個解法:

x^3-26x-5=0

\Rightarrow -x(5)^2-(5)+x^3-x=0

變成一條 quadratic equation in ‘5’,於是

\Rightarrow 5=\frac{1\pm \sqrt{1-4(-x)(x^3-x)}}{2(-x)}

\Rightarrow -10x-1=\pm\sqrt{(2x^2-1)^2}

所以 (more…)

2017/01/10

某經典幾何題

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:03 下午
Tags: , ,

三個大小不同的圓,沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓,可畫出兩條公共外切線(common external tangents),及其交點,即下圖的 P,Q,R。

問: P,Q,R 共線(collinear)嗎?同學可以先探究一下(輕輕地改變 A 和 X 的位置吧~):

https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ

(若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線,可看文末的附錄*)

第一次接觸此題,大概在 1995 年,看以下數普書: (more…)

2016/12/11

小心出題

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:18 下午
Tags: ,

早前給學生做某高中數學教科書的某習題:

因為課題涉及 cosine law,於是多數學生解 (a),曰:

AB=\sqrt{30^2+45^2-2(30)(45)\cos(60^o-40^o)}=19.7 m

但有少部份學生,以初中手法處理,考慮兩個直角三角形,得

AB=45\cos 40^o-30\cos 60^o=19.5 m

我用計算機檢查無誤,奇怪 (more…)

2016/08/29

講兩題

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 5:02 下午
Tags: , ,


seize-the-moment-geek-green

對,seize the moment,抓緊此際講兩題。

(注:上圖式子是 k^{th} moment 的定義。特別地,當 k=2,它就是方差 variance。)

(一)

修物理的同學一定學過透鏡公式(lens formula)

\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v} (more…)

2016/07/26

相同特徵值及凱萊哈密頓

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:29 上午
Tags: , ,

免插聲明:本文只是中學程度的討論,高手見諒。

續上個 post:

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

M=\left(\begin{array}{rcl}a& b\\c& d\\\end{array}\right) 的特徵方程為 \det(M-\lambda I)=0,即

\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0

留意上式係數,

(a+d) 就是矩陣 M 的跡(trace),即對角元的和,也是特徵值的和(sum of roots);而

(ad-bc) 就是矩陣 M 的行列式(determinant),也是特徵值的積(product of roots)。

有時出題目,想弄一個 2×2 矩陣,其特徵值是(比方說)2 和 8,可以先寫 (more…)

2016/07/22

有理函數和矩陣

Filed under: NSS,Pure Mathematics,Teaching,University Mathematics — johnmayhk @ 12:06 下午
Tags:

Core mathematics 介紹過 rational function(有理函數),即形如 \frac{P(x)}{Q(x)} 者(其中 P(x)Q(x) 皆為多項式)。

P(x)Q(x) 皆為線性(linear),即形如 \frac{ax+b}{cx+d} 者,稱之曰 fractional linear function(FLF)。

中四教 function(函數)時,偶談下例,設 f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},求 f(f(x))

解之曰

f(f(x))

=\frac{af(x)+b}{cf(x)+d}

=\frac{a\times \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\times \frac{ax+b}{cx+d}+d}

=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+bc+d^2}

仍舊是 FLF。

現看看 2×2 矩陣 (more…)

2016/07/10

論商餘(三)

Filed under: mathematics,NSS,Teaching — johnmayhk @ 9:45 下午
Tags: , ,

一. 帶餘除法

(a) 多項式與數字

聞說以下是某校的試題:

一看,個心離一離。 (more…)

2016/06/06

和扇形有關的某積分

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:27 下午
Tags: , ,

以積分求面積,基本概念也。

故不用真正去計算,只要明白

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx

代表四分一個單位圓的面積,立即知

\displaystyle \int^1_0\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

改變積分上限為 t,M2 同學也懂計算

\displaystyle \int_0^t\sqrt{1-x^2}dx (其中 0 < t < 1

x=\sin\theta 又或用部分積分吧。但以圖示之,求上述積分,即是求下圖著色部分面積:

johnmayhk-intefrate-square-root-of-one-minus-x-square (more…)

2016/05/01

證 Cramer’s rule (無言)

Filed under: Fun,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:58 下午
Tags: ,

來自 The Mathematics Initiative, Education Development Center 的關於 Cramer’s rule 的無言證明:

johnmayhk-cramer-rule-1
johnmayhk-cramer-rule-2

兩句:

1.相信為了簡潔,不繪出 y\overrightarrow{b}z\overrightarrow{c},但繪與不繪,無關宏旨。
2.上式 det 計算的是平行六面體體積,而上圖兩個平行六面體之體積明顯相同,故推得結果。

把線性方程組賦予這個圖像意義,美麗!

2016/04/29

證 Cramer’s rule

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:04 上午

聽聞代課想向 M2 學生證明 Cramer’s rule,見他手執 n by n 的線性代數材料,並稱內容頗抽象云云,我沒說甚麼。

其實教純數時也略談,技巧不過是在不同的等式,刻意乘上 cofactors 再相加,以致產生 coefficient matrix 的 determinant 云云。

但對 M2 學生來說,估計不是太易,這裡試用 inverse matrix 來解釋,希望明啦~

因為是 M2,考慮 3 by 3 方程組已足夠,見下

\left \{ \begin{array}{ll} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{array}\right.

設所謂 coefficient matrix 為 (more…)

2016/03/22

正三角頂點軌跡

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 12:45 下午

設定線 L,並不在其上的定點 O。

johnmayhk-equilateral-triangle1

在 L 上任意取點 Q,再畫出等邊三角形 OPQ。若 Q 在 L 上運行,問 P 點軌跡是甚麼?

點擊以下連結,猜猜看:

https://www.geogebra.org/material/simple/id/2967699

開估了: (more…)

2016/03/21

用D證trigo

Filed under: Additional / Applied Mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:13 上午
Tags: ,

某 M2 題…

Prove the following identity

\cos^2x+\cos^2(x+y)-2\cos y\cos x\cos(x+y)=\sin^2y.

試試"D吓佢"… (more…)

後一頁 »

在 WordPress.com 建立免費網站或網誌.